Pin
Send
Share
Send


Van links naar rechts: het vierkant heeft twee dimensies, de kubus heeft drie en het tesseract heeft vier.

In gemeenschappelijk gebruik, dimensie (uit het Latijn Dimensio, wat betekent "gemeten") is een parameter of maat voor ruimtelijke kenmerken van een object, zoals lengte, breedte en hoogte. In de wiskunde, de dimensies van een object (of verzameling objecten) in de ruimte wordt ruwweg gedefinieerd als het minimum aantal coördinaten dat nodig is om elk punt binnen dat object (of verzameling) te specificeren.12 Een geïdealiseerd punt (met een dikte van nul of bijna nul) heeft dus een dimensie van nul, een lijnsegment heeft één dimensie, een vierkant heeft twee dimensies, een kubus heeft er drie en een tesseract heeft er vier.

Voor sommige berekeningen tijd kan worden toegevoegd als een derde dimensie aan tweedimensionale (2D) ruimte of een vierde dimensie aan driedimensionale (3D) ruimte. De dimensies van tijd en ruimte zijn vereist wanneer u probeert de tijd en plaats van een gebeurtenis te vinden.

Het concept van dimensies is uitgebreid naar verschillende vakgebieden, waarin ruimtes worden gedefinieerd door hun eigen relevante dimensies. In geografische ruimtemodellen kunnen de dimensies eenheden zijn meter of voeten; in economische modellen kunnen de eenheden omvatten kosten of prijs.

Dimensies spelen een fundamentele rol in onze perceptie van de wereld om ons heen. Immanuel Kant merkte op dat we deze dimensies niet echt waarnemen, maar ze vormen het raamwerk waarin we gebeurtenissen waarnemen; ze vormen de a priori achtergrond waarin gebeurtenissen worden waargenomen.

Voorbeelden

Het lokaliseren van een stad op een kaart van de aarde vereist twee parameters: lengte- en breedtegraad. De kaart zou daarom 'twee dimensies' in de ruimte hebben. Als alternatief wordt van de kaart gezegd 2-dimensionale (of 2D), of zijn dimensie schijt twee.

Het lokaliseren van de exacte positie van een vliegtuig tijdens de vlucht (ten opzichte van een referentiepositie op de aarde) vereist een andere dimensie, hoogte. Vandaar dat de positie van het vliegtuig kan worden weergegeven in een driedimensionale ruimte (3D). Door de drie Euler-hoeken toe te voegen voor in totaal 6 dimensies, is het ook mogelijk om de oriëntatie en het traject van het vliegtuig te bepalen.

In het geval van een vliegtuig kan de geschatte "snelheid" worden berekend op basis van een vergelijking tussen de tijden behorende bij twee willekeurige posities. Voor algemeen gebruik is het eenvoudigweg gebruiken van "snelheid" (als dimensie) een nuttige manier om de meer abstracte tijdsdimensie te condenseren (of te vertalen), zelfs als "snelheid" geen dimensie maar is een berekening gebaseerd op twee dimensies. (Eigenlijk is het mogelijk en nuttig om "spaties" te overwegen met extra dimensies voor het weergeven van snelheid, omdat het helpt bij het oplossen van bepaalde vergelijkingen.)

Sommige theoretische fysici bestuderen ongebruikelijke conceptuele ruimtemodellen door extra dimensies toe te voegen of hun eigenschappen te wijzigen. Deze benadering heeft geholpen concepten in de kwantummechanica te beschrijven, dat wil zeggen de 'fysica onder de zichtbare fysieke wereld'. Het concept van meerdere dimensies is geleend door sciencefictionschrijvers als een metaforisch apparaat, waarbij een 'alternatieve dimensie' (zoals een 'alternatief universum' of 'bestaansvlak') buitenaardse plaatsen, soorten en culturen beschrijft die op manieren functioneren die anders en ongewoon zijn in vergelijking met de menselijke cultuur.

In de natuurkunde

Ruimtelijke dimensies

Een driedimensionaal Cartesiaans coördinatensysteem.

Klassieke fysica-theorieën beschrijven objecten in drie ruimtelijke dimensies. Deze dimensies kunnen worden gezien als drie assen in een Cartesiaans coördinatensysteem, die van links naar rechts, omhoog, omlaag en vooruit-achteruit lopen. Een set van drie coördinaten op deze assen, of een ander driedimensionaal coördinatenstelsel, geeft de positie van een bepaald punt in de ruimte aan3.

Evenzo zijn de basisrichtingen van een object omhoog / omlaag, links / rechts en vooruit / achteruit. Beweging in elke andere richting kan worden uitgedrukt in termen van alleen deze drie. Naar beneden gaan is hetzelfde als naar boven gaan. Diagonaal omhoog en vooruit bewegen is precies zoals de naam van de richting impliceert; dat wil zeggen, bewegen in een lineaire combinatie van omhoog en vooruit. In zijn eenvoudigste vorm: een lijn beschrijft één dimensie, een vlak beschrijft twee dimensies en een kubus beschrijft drie dimensies.

In de fysieke wereld is volgens de relativiteitstheorie de vierde dimensie tijd, die voor-na loopt. De positie van een evenement in ruimte en tijd wordt daarom gespecificeerd als vier coördinaten worden gegeven.

Op oppervlakken zoals een vlak of het oppervlak van een bol, kan een punt worden gespecificeerd met slechts twee getallen en dus wordt van deze ruimte gezegd dat deze tweedimensionaal is. Op dezelfde manier is een lijn eendimensionaal omdat slechts één coördinaat nodig is, terwijl een punt geen dimensies heeft.

Tijd

Tijd wordt vaak de "vierde dimensie" genoemd. Het is in wezen een manier om fysieke verandering te meten. Het wordt anders waargenomen dan de drie ruimtelijke dimensies in die zin dat er maar één is, en dat beweging lijkt te gebeuren met een vaste snelheid en in één richting.

De vergelijkingen die in de natuurkunde worden gebruikt om de realiteit te modelleren, behandelen de tijd vaak niet op dezelfde manier als mensen het waarnemen. In het bijzonder zijn de vergelijkingen van klassieke mechanica symmetrisch met betrekking tot tijd, en vergelijkingen van kwantummechanica zijn typisch symmetrisch als zowel tijd als andere grootheden (zoals lading en pariteit) worden omgekeerd. In deze modellen is de perceptie van tijd die in één richting stroomt een artefact van de wetten van de thermodynamica (we zien tijd als stromend in de richting van toenemende entropie).

De meest bekende behandeling van tijd als dimensie is de speciale relativiteitstheorie van Poincaré en Einstein (en uitgebreid tot algemene relativiteitstheorie), die waargenomen ruimte en tijd behandelt als delen van een vierdimensionaal spruitstuk.

Aanvullende afmetingen

Sommige theorieën, zoals snaartheorie en M-theorie, veronderstellen dat ruimte in het algemeen 10 of 11 dimensies heeft, maar dat het universum, gemeten langs deze extra dimensies, subatomair van omvang is. Als gevolg hiervan nemen we alleen de drie ruimtelijke dimensies waar die een macroscopische grootte hebben. Wij mensen kunnen alleen de derde dimensie waarnemen terwijl we kennis hebben van onze reis door de vierde. We kunnen echter niets meer zien na de vierde.

Penrose's singulariteitsstelling

In zijn boek The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, wetenschapper Sir Roger Penrose verklaarde zijn singulariteitsstelling. Het beweert dat alle theorieën die meer dan drie ruimtelijke dimensies en één tijdelijke dimensie aan de ervaringswereld toeschrijven, onstabiel zijn. De instabiliteiten die bestaan ​​in systemen met dergelijke extra dimensies zouden resulteren in hun snelle instorting in een singulariteit. Om die reden, schreef Penrose, kan de eenwording van zwaartekracht met andere krachten door extra dimensies niet plaatsvinden.

Eenheden

In de natuurwetenschappen en techniek, de dimensie van een fysieke hoeveelheid is de uitdrukking van de klasse van fysieke eenheid waartegen een dergelijke hoeveelheid wordt afgemeten. Een voorbeeld van een dimensie is lengte (L), wat de dimensie is voor metingen uitgedrukt in lengte-eenheden, zoals meters, zeemijlen of lichtjaren. Een ander voorbeeld is tijd (T), die wordt uitgedrukt in eenheden zoals seconden of uren.

In het algemeen wordt gezegd dat fysieke metingen die moeten worden uitgedrukt in meeteenheden en hoeveelheden die door dergelijke metingen worden verkregen, "maatgevend" zijn. Snelheid, de afstand (lengte) die in een bepaalde tijd is afgelegd, is een dimensionale hoeveelheid met de dimensie LT −1 (betekenis L / T). Versnelling, de verandering in snelheid per tijdseenheid, heeft de dimensie LT −2.

In wiskunde

Wiskundigen gebruiken de term verdeelstuk in generieke zin het oppervlak van een oppervlak, het volume van een lichaam, enzovoort. Op basis van die term is het aantal dimensies van een spruitstuk gelijk aan het laagste aantal gehele coördinaten dat nodig is om de positie van elk punt in het spruitstuk te specificeren.1 Er is bijvoorbeeld één nummer nodig om de positie van een punt op een lijn te specificeren; er zijn twee cijfers nodig om de positie van een punt op een oppervlak te specificeren.

Toch is er geen definitie van dimensie die het concept adequaat weergeeft in alle situaties waarin we het zouden willen gebruiken. Daarom hebben wiskundigen talloze definities van dimensies voor verschillende soorten ruimtes bedacht. Alle zijn echter uiteindelijk gebaseerd op het concept van de dimensie van Euclidisch n-ruimte E n. Het punt E 0 is 0-dimensionaal. De lijn E 1 is 1-dimensionaal. Het vliegtuig E 2 is tweedimensionaal. En in het algemeen E n is ndimensionale.

Een tesseract is een voorbeeld van een vierdimensionaal object. Terwijl buiten de wiskunde het gebruik van de term "dimensie" is als in: "Een tesseract heeft vier dimensies,"wiskundigen drukken dit meestal uit als:" Het tesseract heeft dimensie 4,"of:" De dimensie van het tesseract is 4."

De rest van deze sectie onderzoekt enkele van de belangrijkste wiskundige definities van dimensie.

Manifolds

In de wiskunde worden spaties met meer dan drie dimensies gebruikt om andere spruitstukken te beschrijven. In de n-dimensionale ruimte bevindt een punt zich op n coördinaten (x1, x2, ... xn). Sommige theorieën, zoals die in fractale geometrie, maken gebruik van niet-gehele en negatieve dimensies.

De theorie van de variëteiten op het gebied van de geometrische topologie wordt gekenmerkt door de manier waarop dimensies 1 en 2 relatief elementair zijn; de "hoog-dimensionale" gevallen van n > 4 zijn vereenvoudigd door extra ruimte te hebben om te 'werken'; en de gevallen n = 3 en 4 zijn in sommige opzichten het moeilijkst.

Hamel dimensie

De dimensie van een vectorruimte V is de kardinaliteit (dat wil zeggen het aantal vectoren) van een basis van V. Het wordt soms genoemd Hamel dimensie of algebraïsche dimensie, om het te onderscheiden van andere soorten dimensies. Alle bases van een vectorruimte hebben een gelijke kardinaliteit, en daarom is de dimensie van een vectorruimte uniek gedefinieerd.

Lebesgue die dimensie behandelt

Voor elke topologische ruimte wordt de Lebesgue-dekkende dimensie gedefinieerd als zijnde n als n is het kleinste gehele getal waarvoor geldt: elke open klep heeft een verfijning (een tweede klep waarbij elk element een subset is van een element in de eerste klep) zodat geen punt is opgenomen in meer dan n + 1 elementen. Voor spruitstukken valt dit samen met de hierboven genoemde dimensie. Als zo'n n niet bestaat, dan is de dimensie oneindig.

Inductieve dimensie

De inductieve dimensie van een topologische ruimte kan verwijzen naar de kleine inductieve dimensie of de grote inductieve dimensie, en is gebaseerd op de analogie die n+ 1-dimensionale ballen hebben n dimensionale grenzen, waardoor een inductieve definitie mogelijk is op basis van de dimensie van de grenzen van open sets.

Hausdorff-dimensie

Voor sets met een gecompliceerde structuur, met name fractals, is de Hausdorff-dimensie nuttig. De dimensie Hausdorff is gedefinieerd voor alle metrische spaties en kan, in tegenstelling tot de Hamel-dimensie, ook niet-gehele getallen bereiken.4 De doosafmeting is een variant van hetzelfde idee. Over het algemeen bestaan ​​er meer definities van fractale dimensies die werken voor zeer onregelmatige verzamelingen en niet-integer positieve reële waarden bereiken.

Hilbert-ruimtes

Elke Hilbert-ruimte laat een orthonormale basis toe, en elke twee dergelijke bases voor een bepaalde ruimte hebben dezelfde kardinaliteit. Deze kardinaliteit wordt de dimensie van de Hilbert-ruimte genoemd. Deze dimensie is eindig als en alleen als de Hamel-dimensie van de ruimte eindig is, en in dit geval vallen de twee dimensies samen.

Krull-dimensie van commutatieve ringen

De Krull-dimensie van een commutatieve ring, genoemd naar Wolfgang Krull (1899-1971), wordt gedefinieerd als het maximale aantal strikte insluitsels in een toenemende keten van primaire idealen in de ring.

Negatieve dimensie

De negatieve (fractale) dimensie wordt geïntroduceerd door Benoit Mandelbrot, waarin, wanneer deze positief is, de bekende definitie wordt gegeven en wanneer deze negatief is de mate van "leegte" van lege sets meet.5

Science fiction

Sciencefiction-teksten vermelden vaak het begrip dimensie, wanneer ze echt verwijzen naar parallelle universums, alternatieve universums of andere bestaansgebieden. Dit gebruik is afgeleid van het idee dat om naar parallelle / alternatieve universums / bestaansgebieden te reizen men in een ruimtelijke richting / dimensie moet reizen naast de standaard. In feite zijn de andere universums / vlakken slechts een kleine afstand verwijderd van die van ons, maar de afstand is in een vierde (of hogere) ruimtelijke dimensie, niet de standaard.

Meer dimensies

  • Dimensie van een algebraïsche variëteit
  • Lebesgue die dimensie behandelt
  • Isoperimetrische dimensie
  • Poset dimensie
  • Metrische dimensie
  • Puntsgewijze dimensie
  • Lyapunov-dimensie
  • Kaplan-Yorke-dimensie
  • Exterieur dimensie
  • Hurst exponent
  • q-dimensie; vooral:
    • Informatiedimensie (komt overeen met q = 1)
    • Correlatiedimensie (komt overeen met q = 2)

Zie ook

  • Cartesisch coördinatenstelsel
  • Algemene relativiteitstheorie, een inleiding
  • Lijn (wiskunde)
  • Punt (geometrie)
  • Ruimte
  • Ruimte tijd
  • Speciale relativiteitstheorie, een inleiding
  • stereoscopie
  • Snaartheorie
  • Tesseract
  • Tijd

Notes

  1. 1.0 1.1 Benieuwd naar astronomie? Vraag een astronoom: wat is een dimensie?Cornell universiteit. Ontvangen op 10 juni 2008.
  2. ↑ dimensie. Wolfram MathWorld. Ontvangen op 10 juni 2008.
  3. ↑ Vivian Fuchs en W. G. Richards. 1985. Oxford Illustrated Encyclopedia. Deel 1, The Physical World. (Oxford: Oxford University Press).
  4. ↑ Fractale dimensie, Boston University Department of Mathematics and Statistics. Ontvangen op 10 juni 2008.
  5. ↑ Benoit B. Mandelbrot. Negatieve fractale dimensie. Yale Mathematics Department. Ontvangen op 10 juni 2008.

Referenties

  • Banchoff, Thomas. 1990. Voorbij de derde dimensie: geometrie, computerafbeeldingen en hogere dimensies, 2e ed. New York: Scientific American Library, gedistribueerd door W.H. Freeman. ISBN 9780716750253.
  • Fuchs, Vivian en W. G. Richards. 1985. Oxford Illustrated Encyclopedia. Deel 1, The Physical World. Oxford: Oxford University Press.
  • Penrose, Roger. 2005. The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. New York: A.A. Knopf. ISBN 9780679454434.
  • Pickover, Clifford A. 1999. Surfen door Hyperspace: Hogere universums begrijpen in zes eenvoudige lessen. New York: Oxford University Press. ISBN 0195130065 ISBN 9780195130065.
  • Rucker, Rudy. 1984. De vierde dimensie. Boston: Houghton Mifflin. ISBN 0395344204.

Externe links

Alle links opgehaald op 23 oktober 2017.

Pin
Send
Share
Send