Ik wil alles weten

Alfred Tarski

Pin
Send
Share
Send


Alfred Tarski (14 januari 1901 - 26 oktober 1983) was een logicus en wiskundige van aanzienlijk filosofisch belang. Een briljant lid van de interbellum Warschau School of Mathematics en actief in de Verenigde Staten na 1939, schreef hij over topologie, meetkunde, meettheorie, wiskundige logica, verzamelingenleer, metamathematica, en vooral, over modeltheorie, abstracte algebra, en algebraïsche logica. Zijn biografen, Anita Feferman en Solomon Feferman (2004), schreven dat hij "een van de grootste logici aller tijden was ... samen met zijn tijdgenoot, Kurt Gödel, veranderde hij het gezicht van de logica in de twintigste eeuw, vooral door zijn werk aan het concept van waarheid en de theorie van modellen. "

Leven

Tarski werd geboren als Alfred Teitelbaum (Poolse spelling: Tajtelbaum) in Warschau aan ouders die Poolse joden waren in comfortabele omstandigheden. Zijn moeder, Rosa Prussak, wordt beschouwd als verantwoordelijk voor zijn latere schittering. Tarski onthulde eerst zijn wiskundige vaardigheden terwijl hij op de Schola Mazowiecka in Warschau zat, een ongewoon goede middelbare school voor die plaats en tijd. Niettemin ging hij in 1918 naar de Universiteit van Warschau om biologie te studeren.

In 1919 herwon Polen voor het eerst sinds 1795 zijn onafhankelijkheid, en de Universiteit van Warschau werd voor het eerst in generaties een Poolse universiteit. Onder leiding van Jan Łukasiewicz, Stanisław Leśniewski en Wacław Sierpiński werd de universiteit onmiddellijk een wereldleider in logica, fundamentele wiskunde, de filosofie van wiskunde en analytische en taalfilosofie. Aan de Universiteit van Warschau had Tarski een noodlottige ontmoeting met Leśniewski, die het genie van Tarski ontdekte en hem overhaalde de biologie voor wiskunde te verlaten. Voortaan volgde Tarski cursussen die werden gegeven door Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz en Tadeusz Kotarbiński, en werd de enige persoon ooit die een Ph.D. onder toezicht van Leśniewski. Tarski en Leśniewski werden al snel koel voor elkaar; in het latere leven reserveerde Tarski zijn hartelijke lof voor Tadeusz Kotarbiński.

In 1923 veranderden hij en zijn broer Wacław hun achternamen in Tarski, een naam die ze bedachten omdat het heel Pools klonk, eenvoudig te spellen en uit te spreken was en ongebruikt was (jaren later ontmoette hij een andere Alfred Tarski in Noord-Californië). De gebroeders Tarski bekeerden zich ook tot het rooms-katholicisme, de dominante religie in Polen. Tarski deed dit ook al was hij een erkende atheïst omdat hij op het punt stond zijn Ph.D. en verwachtte terecht dat het moeilijk zou zijn voor een Jood om een ​​serieuze positie in het nieuwe Poolse universitaire systeem te verkrijgen (de universiteiten van vóór 1918 werden gecontroleerd door de imperiale Russische en Oostenrijks-Hongaarse regeringen). Tarski was verstrikt in het Poolse nationalisme van die tijd en wilde volledig geaccepteerd worden als een Pool. Hij bleef warm voor Poolse zaken in zijn latere Amerikaanse leven.

Na de jongste persoon ooit te zijn die een Ph.D. aan de Universiteit van Warschau, deed Tarski een verscheidenheid aan werk: lesgeven in logica aan het Poolse Pedagogisch Instituut, wiskunde en logica aan de universiteit, en diende als assistent van Lukasiewicz. Omdat deze posities slecht werden betaald, onderwees Tarski ook wiskunde op een middelbare school in Warschau; vóór de Tweede Wereldoorlog was het niet ongewoon voor Europese intellectuelen van onderzoekskaliber om de middelbare school te onderwijzen. Er moet aan worden herinnerd dat Tarski tussen 1923 en zijn vertrek naar de Verenigde Staten in 1939 niet alleen verschillende schoolboeken en veel kranten schreef, waarvan een aantal baanbrekend, maar dit deed terwijl hij zichzelf voornamelijk ondersteunde door wiskunde op de middelbare school te onderwijzen.

In 1929 trouwde Tarski met een mede-lerares, Maria Witkowski. Ze had gewerkt als koerier voor het leger tijdens de onafhankelijkheidsstrijd van Polen. Ze hadden twee kinderen. Hij solliciteerde ook naar de leerstoel voor filosofie bij Lvov, maar deze werd op aanbeveling van Bertrand Russell toegekend aan Leon Chwistek. In 1937 vroeg Tarski een leerstoel aan de Universiteit van Poznan aan. In plaats van een stoel toe te kennen aan iemand van Joodse afkomst, werd de positie afgeschaft.

In 1930 bezocht Tarski de Universiteit van Wenen, waar hij een lezing gaf aan het colloquium van Carl Menger en Kurt Gödel ontmoette. Dankzij een fellowship kon Tarski in de eerste helft van 1935 terugkeren naar Wenen om samen te werken met de onderzoeksgroep van Menger. Vanuit Wenen reisde hij naar Parijs om zijn ideeën over de waarheid te presenteren tijdens de eerste bijeenkomst van de Unity of Science-beweging, een uitloper van de Weense cirkel.

Tarski's banden met deze beweging hebben uiteindelijk zijn leven gered, omdat ze ertoe hebben geleid dat hij werd uitgenodigd voor het Unity of Science Congress, gehouden in september 1939 aan de Harvard University. Zo verliet hij Polen in augustus 1939 op het laatste schip om Polen naar de Verenigde Staten te verlaten vóór de Duitse invasie van Polen en het uitbreken van de Tweede Wereldoorlog. Tarski ging met tegenzin weg omdat Lesniewski een paar maanden eerder was overleden, waardoor een vacature ontstond die Tarski heel graag had willen vervullen. Tarski was zich niet bewust van de nazi-dreiging dat hij zijn vrouw en kinderen in Warschau achterliet; hij zag ze pas in 1946 weer. Bijna zijn hele familie stierf tijdens de oorlog door de nazi's.

Eenmaal in de Verenigde Staten bekleedde Tarski een aantal tijdelijke onderwijs- en onderzoeksposities: Harvard University (1939), City College of New York (1940), en dankzij een Guggenheim Fellowship, het Institute for Advanced Study in Princeton (1942), waar hij Gödel opnieuw ontmoette. Tarski werd een Amerikaans staatsburger in 1945.

Tarski trad in 1942 toe tot de afdeling Wiskunde van de Universiteit van Californië, Berkeley, waar hij de rest van zijn carrière doorbracht. Hoewel emeritus vanaf 1968, gaf hij les tot 1973 en superviseerde hij Ph.D's tot zijn dood op 26 oktober 1983. In Berkeley verwierf Tarski een reputatie als een veeleisende leraar:

Tarski was extravert, snel van geest, eigenzinnig, energiek en scherp van tong. Hij gaf de voorkeur aan zijn onderzoek in samenwerking - soms de hele nacht met een collega werkend - en was zeer kieskeurig over prioriteit. (Gregory Moore, "Alfred Tarski" in Woordenboek van wetenschappelijke biografie)

Een charismatische leider en leraar, bekend om zijn briljant precieze maar toch spannende verklarende stijl, Tarski had intimiderend hoge normen voor studenten, maar tegelijkertijd kon hij zeer bemoedigend zijn, en vooral voor vrouwen - in tegenstelling tot de algemene trend. Sommige studenten waren bang, maar er bleef een kring van discipelen over, van wie velen wereldberoemde leiders in het veld werden. (Feferman 1999)

Tarski begeleidde 24 Ph.D. proefschriften, waaronder vijf van vrouwen, en hadden een sterke invloed op de proefschriften van Alfred Lindenbaum, Dana Scott en Steven Givant. Zijn studenten omvatten Andrzej Mostowski, Julia Robinson, Robert Vaught, Solomon Feferman, Richard Montague, J. Donald Monk, Donald Pigozzi, en de auteurs van de klassieke tekst over modeltheorie, Chang en Keisler (1973).

Tarski gaf een lezing aan het University College, Londen (1950, 1966), het Henri Poincaré Institute in Parijs (1955), het Miller Institute of Basic Research in Science (1958-1960), de University of California, Los Angeles (1967) en de Katholieke Universiteit van Chili (1974-1975). Hij werd verkozen tot de National Academy of Sciences en de British Academy, en was voorzitter van de Association for Symbolic Logic (1944-1946) en de International Union for the History and Philosophy of Science (1956-1957).

Wiskundige

De wiskundige interesses van Tarski waren uitzonderlijk breed voor een wiskundige logicus. Zijn verzamelde papers hebben een oppervlakte van ongeveer 2500 pagina's, waarbij de meeste van die papers wiskunde behandelen, geen logica. Voor een beknopt overzicht van Tarski's wiskundige en logische prestaties door zijn voormalige student Solomon Feferman, zie "Interludes I-VI" in Feferman en Feferman (2004).

Tarski's eerste paper, gepubliceerd toen hij pas 19 jaar oud was, ging over de vaste theorie, een onderwerp waarnaar hij zijn hele leven terugkeerde. In 1924 bewezen hij en Stefan Banach dat een bol in een eindig aantal stukken kan worden gesneden en vervolgens weer in een grotere bol kan worden geassembleerd, of anders kan deze opnieuw worden samengesteld in twee sferen waarvan de afmetingen elk gelijk zijn aan die van de oorspronkelijke. Dit resultaat wordt nu de Banach-Tarski-paradox genoemd. "Paradoxaal" betekent hier "contra-intuïtief".

Kardinale algebra's bestuderen algebra's waarvan de modellen de rekenkunde van kardinale getallen omvatten. Ordinal algebras beschrijft een algebra voor de additieve theorie van ordertypen. Optellen zet kardinaal om, maar niet ordinaal.

In een beslissingsmethode voor elementaire algebra en geometrie liet Tarski door de methode van de kwantificering van de kwantificering zien dat de theorie van de eerste orde van de reële getallen bij optelling en vermenigvuldiging beslissend is. Dit is een zeer merkwaardig resultaat, omdat de Alonzo-kerk in 1936 bewees dat de rekenkunde van Peano (in feite de theorie Tarski beslissend bleek, behalve dat naturals de reals vervangen) niet beslissend is. Peano-rekenkunde is ook niet compleet (Gödel's onvolledigheidsstelling, 1931). In Onbeslisbare theorieën, Tarski et al. toonde aan dat veel wiskundige systemen, waaronder roostertheorie, abstracte projectieve geometrie en afsluitingsalgebra's, allemaal onbeslist zijn. Abelse groepen zijn beslissend, maar niet-Abelse groepen niet.

In de jaren 1920 en 1930 gaf Tarski vaak les in geometrie. In 1929 liet hij zien dat veel van de Euclidische solide geometrie herschikt kon worden als een theorie van de eerste orde waarvan de individuen sferen zijn, een primitieve notie, een enkele primitieve binaire relatie "bevat", en twee axioma's die onder meer impliceren dat insluiting bestelt de bollen gedeeltelijk. Het versoepelen van de eis dat alle individuen sferen zijn, levert een formalisering van mereologie op die veel gemakkelijker is om die variant van Lesniewski bloot te leggen. Vanaf 1926 bedacht Tarski een originele axiomatisatie voor de Euclidische geometrie van het vliegtuig, een aanzienlijk meer beknopte dan die in Hilbert's Grundlagen der Geometrie. Het resultaat was een theorie van de eerste orde, verstoken van de verzamelingenleer, waarvan de individuen punten zijn, en die slechts twee primitieve relaties heeft. In 1930 bewees hij zijn versie van de Euclidische vlakgeometrie beslissend omdat deze aansluit bij de eerste-orde-theorie van de reële getallen, waarvan de beslissbaarheid hierboven is vermeld. Het hoogtepunt van Tarski's werk aan geometrie is Tarski en Givant (1999).

Tarski (1941) is een belangrijk artikel over binaire relaties, wiens methoden uitgroeide tot een krachtige relatiealgebra en wiens metamathematica Tarski (samen met Roger Lyndon) en zijn studenten zorgvuldig hebben onderzocht. Terwijl die verkenning enkele belangrijke beperkingen aan het licht bracht, toonde Tarski ook (Tarski en Givant 1987) aan dat relatiealgebra krachtig genoeg is om de meeste axiomatische set-theorieën en Peano-rekenkunde uit te drukken. Zie Maddux (2006) voor een inleiding tot relatiealgebra. In de late jaren 1940 bedachten Tarski en zijn studenten cilindrische algebra's, die voor de eerste orde logica zijn wat de Booleaanse algebra met twee elementen is voor de klassieke sentimentele logica. Dit werk culmineerde in twee monografieën van Tarski, Henkin en Monk (1971, 1985).

Logicus

Aristoteles, Gottlob Frege, Kurt Gödel en Tarski worden soms beschouwd als de vier grootste logici aller tijden (Vaught 1986). Van deze vier was Tarski de beste wiskundige en de meest productieve auteur. Frege noch Gödel hebben ooit toezicht gehouden op een enkele Ph.D. of co-auteur van papieren met iemand; Frege was streng afstandelijk in persoon en vaak bijtend sarcastisch in druk, en Gödel was een beruchte kluizenaar. Ondertussen hield Tarski ervan om intellectueel en sociaal met mensen om te gaan.

Tarski produceerde axioma's voor logisch gevolg en werkte aan deductieve systemen, de algebra van de logica en de theorie van definieerbaarheid. Zijn semantische methoden, waarvan het hoogtepunt de modeltheorie was die hij en een aantal van zijn Berkeley-studenten in de jaren vijftig en zestig ontwikkelden, transformeerden Hilbert's proof-theoretische metamathematica radicaal.

Volgens Tarski werd metamathematica vergelijkbaar met elke wiskundige discipline. Niet alleen de concepten en resultaten kunnen worden wiskundig, maar ze kunnen ook worden geïntegreerd in de wiskunde ... Tarski vernietigde de grens tussen metamathematica en wiskunde. Hij maakte bezwaar tegen het beperken van de rol van metamathematica tot de grondslagen van de wiskunde. (Sinaceur 2001)

Alle formele wetenschappelijke talen kunnen worden bestudeerd door modeltheorie en gerelateerde semantische methoden.

Tarski's 1936 Over het concept van logische consequenties betoogde dat de conclusie van een argument logisch uit de premissen volgt als en alleen als elk model van de premissen een model van de conclusie is. In 1937 publiceerde hij een paper waarin zijn opvattingen over de aard en het doel van de deductieve methode duidelijk werden uiteengezet, en waarin hij de rol van logica in wetenschappelijke studies beschouwde. Zijn middelbare school en undergraduate onderwijs over logica en axiomatica culmineerde in zijn klassieke korte tekst, eerst gepubliceerd in het Pools, vervolgens in de Duitse vertaling, en ten slotte in een Engelse vertaling uit 1941 als Inleiding tot logica en tot de methodologie van deductieve wetenschappen.

Tarski's 1969 Waarheid en bewijs beschouwden zowel Gödel's onvolledigheidstheorieën als Tarski's ondefinieerbaarheidstheorie en overwogen hun gevolgen voor de axiomatische methode in de wiskunde.

Waarheid in geformaliseerde talen

De "Convention T" (ook T-schema) standaard in zijn "inductieve definitie van waarheid" was een belangrijke bijdrage aan symbolische logica, semantiek en taalfilosofie.

"Het concept van waarheid in geformaliseerde talen" is een lang artikel (meer dan honderd pagina's) met een wiskundige definitie van waarheid voor logische talen. Het verscheen voor het eerst in 1933 in het Pools ("Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych") en vervolgens in 1935 in het Duits, onder de titel "Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen." Het wordt daarom soms de "Wahrheitsbegriff" genoemd. Zijn eerste optreden in het Engels was in 1956 in de eerste editie van Logica, semantiek, metamathematica.

Tarski's waarheidsbegrip was behoorlijk invloedrijk op leden van de Weense cirkel en op Karl Popper, die het expliciet vermeldt.

In een recent filosofisch debat is onderzocht in hoeverre Tarski's waarheidstheorie voor geformaliseerde talen kan worden gezien als een correspondentietheorie van de waarheid. Het debat draait om het lezen van Tarski's voorwaarde van materiële geschiktheid voor een waarheidsbepaling. Die voorwaarde vereist dat de waarheidstheorie het volgende heeft als stellingen voor alle zinnen P van de taal waarvoor de waarheid wordt gedefinieerd:

'P' is waar als en alleen als p.

(waar p de propositie is uitgedrukt door "P")

Het debat komt neer op het lezen van zinnen van deze vorm, zoals:

"Sneeuw is wit" is waar als en alleen als sneeuw wit is als louter een deflatoire waarheidstheorie of als waarheid als een wezenlijker bezit. (Zie Kirkham 1992)

Logisch gevolg

In 1936 publiceerde Tarski Poolse en Duitse versies van een lezing die hij het voorgaande jaar had gegeven op het International Congress of Scientific Philosophy in Parijs. Een nieuwe Engelse vertaling van dit artikel, Tarski (2002), benadrukt de vele verschillen tussen de Duitse en Poolse versies van het artikel en corrigeert een aantal verkeerde vertalingen in Tarski (1983).

In deze publicatie wordt de moderne modeltheoretische definitie van (semantisch) logisch gevolg uiteengezet, of de basis voor dat moderne begrip. Of Tarski's idee modern was, hangt af van de vraag of hij van plan was modellen met verschillende domeinen toe te laten (en in het bijzonder modellen met domeinen met verschillende kardinaliteiten). Deze vraag is een kwestie van enig debat in de huidige filosofische literatuur. Etchemendy (1999) stimuleerde veel van de recente discussie over de behandeling van Tarski van verschillende domeinen.

Tarski eindigt door erop te wijzen dat zijn definitie van logische consequenties afhangt van een verdeling van termen in het logische en het extra-logische en hij uit enige scepsis dat een dergelijke objectieve verdeling zal plaatsvinden. "Wat zijn logische begrippen?" kan dus worden gezien als voortzetting van "Over het concept van logische consequenties".

Wat zijn logische begrippen?

Een andere theorie over de aandacht van Tarski in de recente filosofische literatuur is die in de zijne Wat zijn logische begrippen? (Tarski 1986). Dit is de gepubliceerde versie van een lezing die hij in 1966 gaf; het werd uitgegeven zonder zijn directe betrokkenheid.

In het gesprek stelde Tarski een afbakening voor van de logische operaties (die hij "begrippen" noemt) van de niet-logische. De voorgestelde criteria zijn afgeleid van het Erlangen-programma van de negentiende-eeuwse Duitse wiskundige Felix Klein (Mautner 1946).

Dat programma classificeerde de verschillende soorten geometrie (euclidische geometrie, affiene geometrie, topologie, enz.) Door het type van een-een-transformatie van ruimte op zichzelf waardoor de objecten van die geometrische theorie invariant werden (een een-transformatie is een functionele kaart van de ruimte op zichzelf zodat elk punt van de ruimte wordt geassocieerd met of toegewezen aan een ander punt van de ruimte. Dus, "30 graden draaien" en "vergroten met een factor 2" zijn intuïtieve beschrijvingen van eenvoudige uniforme een- een transformaties). Continue transformaties geven aanleiding tot de objecten van de topologie, gelijkvormigheidstransformaties met die van Euclidische geometrie, enzovoort.

Naarmate het bereik van toelaatbare transformaties breder wordt, wordt het bereik van objecten dat men kan onderscheiden, zoals behouden door de toepassing van de transformaties, smaller. Gelijksoortigheidstransformaties zijn tamelijk smal (ze behouden de relatieve afstand tussen punten) en stellen ons dus in staat om relatief veel dingen te onderscheiden (gelijkzijdige driehoeken van bijvoorbeeld niet-gelijkzijdige driehoeken). Continue transformaties (die intuïtief kunnen worden beschouwd als transformaties die niet-uniforme rek, compressie, buiging en draaien, maar geen rippen of lijmen mogelijk maken) stellen ons in staat om een ​​veelhoek te onderscheiden van een annulus (ring met een gat in het midden), maar staat ons niet toe om twee polygonen van elkaar te onderscheiden.

Tarski's voorstel was om de logische begrippen af ​​te bakenen door alle mogelijke een-op-transformaties van een domein op zichzelf te beschouwen (met domein wordt hier het universum van discours van een model voor de semantische theorie van een logica bedoeld. Een een-op-een transformatie van een verzameling op zichzelf staat ook bekend als een automorfisme). Als iemand de waarheidswaarde Waar identificeert met de domeinset en de waarheidswaarde Onwaar met de lege reeks, worden de volgende soorten bewerkingen als logisch geteld in het voorstel:

  1. Waarheidsfuncties: Alle waarheidsfuncties worden door het voorstel toegelaten. Dit omvat, maar is niet beperkt tot, alle n-ary-waarheidsfuncties voor eindige n (het geeft ook waarheidsfuncties toe met een onbeperkt aantal plaatsen).
  2. individuen: Geen individuen, op voorwaarde dat het domein ten minste twee leden heeft.
  3. predikaten:
  • Totaal één plaats en nul (het predicaat dat alle leden van het domein in zijn extensie heeft en het predicaat dat geen leden van het domein in zijn extensie heeft).
  • Twee plaatsen totaal en nul, evenals de identiteit en diversiteit predicaten (het predicaat met de set van alle geordende paren van domeinleden als extensie, het predicaat met de lege set als extensie, het predicaat met de set van alle volgorde- paren <een, een> waar een is een lid van het domein en het predicaat met de set van alle orderparen <een,b> in zijn extensie, waar een en b zijn verschillende leden van het domein.
  • n-ary predicaten in het algemeen: alle predicaten definieerbaar vanuit het identiteitspredicaat samen met conjunctie, disjunctie en ontkenning (tot elke ordinaliteit, eindig of oneindig).
  1. quantifiers: Tarski bespreekt expliciet alleen monadische kwantificatoren en wijst erop dat al dergelijke numerieke kwantificatoren onder zijn voorstel zijn toegelaten. Deze omvatten de standaard universele en existentiële kwantificatoren, evenals numerieke kwantificatoren zoals "Precies vier", "Eindelijk veel", "Ontelbaar veel" en "Tussen vier en negen miljoen", bijvoorbeeld. Hoewel Tarski deze kwestie niet aangaat, is het ook duidelijk dat polyadische kwantificatoren onder het voorstel zijn toegelaten. Dit zijn kwantificatoren zoals, gegeven twee predikaten Fx en Gy, "Meer(X, y), "die zegt:" Meer dingen hebben F dan hebben G."
  2. Set-theoretische relaties: Relaties zoals inclusie, intersectie en unie toegepast op subsets van het domein zijn logisch in de huidige zin.
  3. Set-theoretisch lidmaatschap: Tarski sloot zijn lezing af met een discussie over de vraag of de vaste theoretische relatie van lidmaatschap in zijn betekenis als logisch telde. Gezien de reductie van (het grootste deel van) de wiskunde tot de set-theorie, was dit in feite de vraag of (het grootste deel van) de wiskunde een onderdeel van de logica is. Hij wees erop dat als je set-theorie ontwikkelt volgens de lijnen van een typentheorie, set-lidmaatschap wel logisch meetelt, terwijl als je je set-theorie axiomatisch ontwikkelt, zoals in de set-theorie van Zermelo-Fraenkel, het als extralogisch telt.
  4. Logische noties van hogere orde: Tarski beperkte zijn discussie tot operaties van eerste-orde logica. Er is echter niets in zijn voorstel dat het expliciet beperkt tot logica van de eerste orde (Tarski heeft waarschijnlijk zijn aandacht beperkt tot noties van de eerste orde omdat het gesprek werd gegeven aan een niet-technisch publiek). Dus worden ook hogere-orde kwantificatoren en predikaten toegelaten.

In zekere zin is het huidige voorstel het tegenovergestelde van dat van Lindenbaum en Tarski (1936), die bewezen dat alle logische operaties van Russell en Whitehead's Principia Mathematica zijn invariant onder één-op-transformaties van het domein op zichzelf. Het huidige voorstel wordt ook gebruikt in Tarski en Givant (1987).

Het voorstel van Tarski werd besproken in recenter werk van Feferman en McGee. Feferman (1999) werpt problemen op voor het voorstel en stelt een wijziging voor. De suggestie van Feferman is om conservering te vervangen door willekeurig homomorfisme voor Tarski's behoud door automorfismen. In wezen wordt dit voorstel gedaan om de moeilijkheden te omzeilen die het voorstel van Tarski heeft bij het omgaan met de gelijkheid van logische werking over verschillende domeinen van een bepaalde kardinaliteit en over domeinen van verschillende kardinaliteiten. Het voorstel van Feferman resulteert in een radicale beperking van logische termen in vergelijking met het oorspronkelijke voorstel van Tarski. In het bijzonder wordt het als logisch beschouwd alleen die exploitanten van standaard eerste-orde logica zonder identiteit.

McGee (1996) geeft een precies overzicht van welke operaties logisch zijn in de zin van het voorstel van Tarski in termen van expressiviteit in een taal die de eerste-orde logica uitbreidt door willekeurig lange conjuncties, disjunctie en kwantificering over willekeurig lange sequenties van variabelen toe te staan. In beide gevallen laat "willekeurig lang" lengtes van enige ordinaliteit toe, eindig of oneindig.

Bibliografie

Primaire bronnen

  • Tarski, Alfred en Adolf Lindenbaum. 1936. "Over de beperkingen van deductieve theorieën" in Tarski (1983): 384-392.
  • Tarski, Alfred. 1941 1994. Inleiding tot logica en tot de methodologie van deductieve wetenschappen. Mineola, NY: Dover Publications.
  • Tarski, Alfred. 1941. "Over de berekening van relaties." Journal of Symbolic Logic 6: 73-89.
  • Tarski, Alfred. 1944. "Het semantische concept van waarheid en de grondslagen van de semantiek." Filosofie en fenomenologisch onderzoek 4: 341-375. Ontvangen op 11 september 2007.
  • Tarski, Alfred. 1948. Een beslissingsmethode voor elementaire algebra en geometrie. Santa Monica, CA: RAND Corp.
  • Tarski, Alfred. 1949. Kardinale algebra's. Oxford: Oxford University Press.
  • Tarski, Alfred. 1956 1983. Logica, semantiek, metamathematica, Corcoran, J., ed. Hackett. 1e editie bewerkt en vertaald door J. H. Woodger, Oxford Uni. Druk op.
    • Veel van Tarski's meer belangrijke artikelen geschreven tijdens zijn Poolse jaren zijn vertaald in deze collectie.
  • Tarski, Alfred, Andrzej Mostowski en Rafael Robinson. 1953. Onbeslisbare theorieën. Amsterdam: Noord-Holland.
  • Tarski, Alfred. 1956. Gewone algebra's. Amsterdam: Noord-Holland.
  • Tarski, Alfred. 1969. "Waarheid en bewijs." Wetenschappelijke Amerikaan 220: 63-77.
  • Tarski, Alfred, Leon Henkin en Donald Monk. 1971. Cilindrische algebra's: deel I. Amsterdam: Noord-Holland.
  • Tarski, Alfred, Leon Henkin en Donald Monk. 1985. Cilindrische algebra's: deel II. Amsterdam: Noord-Holland.
  • Tarski, Alfred. 1986. The Collected Papers of Alfred Tarski, 4 vols. Ed. Steven Givant en R. N. McKenzie. Birkauser.
  • Tarski, Alfred. 1986. "Wat zijn logische begrippen?" in Geschiedenis en filosofie van de logica 7: 143-154.
  • Tarski, Alfred en Steven Givant. 1987. Een formalisering van de ingestelde theorie zonder variabelen. Providence, RI: American Mathematical Society.
  • Tarski, Alfred en Steven Givant. 1999. "Tarski's System of Geometry." Bulletin van symbolische logica 5: 175-214.
  • Tarski, Alfred. 2002. "Over het concept van logisch volgen", trans. Magda Stroińska en David Hitchcock. Geschiedenis en filosofie van de logica 23: 155-196.

Secondaire bronnen

  • Chang, C. C. en H. J. Keisler. 1973. Model theorie. Amsterdam: Noord-Holland.
  • Etchemendy, John. 1999. Het concept van logische consequenties. Stanford, CA: CSLI-publicaties. ISBN 1575861941
  • Feferman, Anita B. 1999. "Alfred Tarski" in Amerikaanse nationale biografievol. 19, 330-332. Oxford: Oxford University Press.
  • Feferman, Anita B. en Solomon Feferman. 2004. Alfred Tarski: Life and Logic. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521802407
  • Feferman, Solomon. 1999. "Logica, logica en logica." Notre Dame Journal of Formal Logic 40: 31-54.
  • Givant, Steven. 1986. "Bibliografie van Alfred Tarski." Journal of Symbolic Logic 51: 913-941.
  • Givant, Steven. 1991. "Een portret van Alfred Tarski." Wiskundige Intelligencer 13: 16-32.
  • Grattan-Guinness, Ivor. 2000. Het zoeken naar wiskundige wortels 1870-1940. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 069105858X
  • Kirkham, Richard. 1992 1995. Theorieën van waarheid: een kritische introductie. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 0262611082
  • Maddux, Roger D. 2006. Relatie-algebra'svol. 150 in "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics." Elsevier Science.
  • Mautner, F. I. 1946. "Een uitbreiding van Klein's Erlanger-programma: logica als invariante-theorie." American Journal of Mathematics 68: 345-384.
  • McGee, Van. 1996. "Logical Operations." Journal of Philosophical Logic 25: 567-580.
  • Sinaceur, H. 2001. "Alfred Tarski: Semantic Shift, Heuristic Shift in Metamathematics." Synthese 126: 49-65.
  • Wolenski, januari 1989. Logica en filosofie in de Lvov-Warschau-school. Springer. ISBN 902772749X

Externe links

Alle links opgehaald op 5 maart 2016.

  • Alfred Tarski - Volledige MacTutor-biografie
  • Tarski's Truth Definitions (Stanford Encyclopedia of Philosophy) door Wilfred Hodges

Algemene filosofiebronnen

Pin
Send
Share
Send