Ik wil alles weten

Kwantificatie

Pin
Send
Share
Send


In de taalkunde, logica en wiskunde enz., kwantificatie is het soort taalconstructie dat de hoeveelheid individuen in het discoursdomein specificeert die aan bepaalde voorwaarden voldoet. Kwantificering wordt gebruikt in zowel natuurlijke talen als formele talen, en de taalkundige elementen, formeel of informeel, die kwantificatie genereren, worden genoemd quantoren. Voorbeelden van kwantificatoren in een natuurlijke taal zijn: elk, sommige, veel, weinig, meest, voor de helft en Nee, enz. Kwantificatoren maken ook gekwantificeerde uitspraken mogelijk, zoals: "Elk natuurlijk getal heeft een opvolger", "Sommige natuurlijke getallen zijn even." In formele talen zijn kwantificatoren formulebouwers die nieuwe formules van oude produceren. De twee fundamentele soorten kwantificering in predikatenlogica zijn universele kwantificatie en existentiële kwantificatie. Het traditionele symbool voor de universele kwantificator "alles" is "∀", een omgekeerde letter "A" en voor de existentiële kwantificator "bestaat" is "∃", een geroteerde letter "E." Deze kwantificatoren zijn op verschillende gebieden geformaliseerd en in overweging genomen.

Kwantificering in natuurlijke taal

Het begrip van kwantificatie in de context van de taalkunde duidt logica en wiskunde op het soort taalconstructie dat de hoeveelheid individuen in het domein van het discours specificeert die aan bepaalde voorwaarden voldoen. De taalkundige elementen die gekwantificeerde uitspraken genereren, worden genoemd quantoren. Voorbeelden van kwantificatoren in een natuurlijke taal, zoals Engels, zijn onder meer: ​​every, some, for all, most, half, two, three, no, etc. Deze uitdrukkingen staan ​​uitspraken toe zoals:

  • Elk glas in mijn recente bestelling was afgebroken.
  • Sommige mensen die aan de overkant van de rivier staan, hebben witte armbanden.
  • De meeste mensen met wie ik sprak, hadden geen idee wie de kandidaten waren.
  • Iedereen in de wachtkamer had minstens één klacht tegen Dr. Ballyhoo.
  • Er was niemand in zijn klas die elke vraag die ik stelde correct kon beantwoorden.
  • Veel mensen zijn slim.

Het belang van kwantificeringen

Bij het overwegen van de volgende gekwantificeerde verklaring:

Iedereen in de kamer is lang.

men zou aannemen dat als er slechts drie mensen in de kamer zijn, zeg John, Mary, Bob, de gekwantificeerde verklaring kan worden beschouwd als gelijkwaardig aan de volgende conjunctieve verklaring:

John is lang, Mary is lang en Bob is lang.

Dit betekent echter niet dat we gegeven gekwantificeerde verklaringen altijd gelijkwaardig kunnen vertalen aan sommige verklaringen zonder kwantificatie. Het is mogelijk dat we niet de namen hebben van alle dingen waarnaar wordt verwezen wanneer we gekwantificeerde uitspraken doen. Bovendien kan de verklaring niet direct worden vertaald, zelfs niet met kennis van de namen voor alle beschouwde objecten. Overweeg de volgende verklaring:

Elk natuurlijk getal is groter dan -1.

Deze gekwantificeerde verklaring kan worden beschouwd als te vertalen naar een gelijkwaardige verklaring zonder kwantificering door alle instanties van "n> -1" te tellen met betrekking tot natuurlijke getallen en een oneindige combinatie te vormen van die instanties van de volgende vorm:

0> -1, en 1> -1, en 2> -1, ... en n> -1, ...

Deze vertaling kan echter een probleem zijn vanuit het standpunt van natuurlijke talen, omdat we verwachten dat syntactische regels van natuurlijke talen eindige taaluitdrukkingen zullen genereren. Het probleem houdt hier niet op, zelfs niet als men zo'n oneindige conjunctie accepteert. Bijvoorbeeld:

Elk irrationeel nummer is niet 1.

In het geval van het bovenstaande geval van natuurlijke getallen zouden we alle voorbeelden van natuurlijke getallen kunnen opsommen en dus kunnen nadenken over de mogelijkheid om de oneindige conjunctie te vormen, maar in ons huidige voorbeeld kunnen irrationele getallen niet worden opgesomd. We zouden dus geen manier hebben om alle conjuncten op te sommen, tenzij we accepteren dat onze taal meer elementen kan bevatten dan kan worden opgesomd.

Zoals we in deze voorbeelden kunnen zien, stelt kwantificering ons in staat verschillende concepten uit te drukken die anders onuitsprekelijk kunnen zijn.

Nesten van kwantificatoren

Veel gekwantificeerde beweringen hebben geneste structuren en de volgorde van kwantificering in een bepaalde structuur is vaak erg belangrijk om te begrijpen wat er moet worden overgebracht. Eerste:

Voor elk natuurlijk nummer n, er is een natuurlijk nummer s zoals dat s = n × n.

Dit is duidelijk waar; het beweert alleen dat elk nummer een vierkant heeft. De betekenis van de bewering waarin de kwantificatoren worden omgedraaid, is heel anders:

Er is een natuurlijk nummer s zodanig dat voor elk natuurlijk nummer n, s = n × n.

Dit is duidelijk onjuist; het beweert dat er één natuurlijk getal is s dat is meteen het kwadraat van elk natuurlijk nummer. Dit illustreert een fundamenteel belangrijk punt wanneer kwantificatoren worden genest: de volgorde van afwisseling van kwantificatoren is van absoluut belang.

In tegenstelling tot deze voorbeelden is de beoogde volgorde van geneste kwantificatie in sommige gekwantificeerde beweringen bovendien dubbelzinnig:

Iedereen houdt van iemand.

Dit kan twee verschillende dingen betekenen. De ene is dat elke persoon van een persoon houdt, en degenen die van hem houden zijn mogelijk anders. De andere is dat één persoon door iedereen wordt gewaardeerd. Dit soort dubbelzinnigheid is er in overvloed in ons iedereengesprek en wat wordt bedoeld met een bepaalde gekwantificeerde verklaring moet vaak worden onttrokken aan de contextuele informatie in het discours.

Kwantificeringsbereik

Kwantificering omvat een domein van discours of een kwantificeringsbereik van die variabele. In het bovenstaande voorbeeld van iedereen is het discoursdomein bijvoorbeeld John, Mary en Bob en in het voorbeeld van het natuurlijke getal bestaat het uit alle natuurlijke getallen.

Het domein van discours wordt vaak impliciet gespecificeerd in termen van contextuele informatie. In veel contexten hoeft het domein van het discours bijvoorbeeld niet expliciet te worden vermeld wanneer kan worden gegarandeerd dat bepaalde gespreksaannames worden gedeeld (bijvoorbeeld Mary, John en Bob zijn de mensen in kwestie). Bepaalde gebieden van de wiskunde gaan uit van de objecten die worden bestudeerd, zoals in het geval van de settheorie, grafentheorie, enz. Ook kan er een bepaalde conventie zijn die aan bepaalde contexten is gekoppeld. In wiskunde, "n"is vaak gereserveerd om het domein van natuurlijke getallen te kwantificeren, terwijl"X, 'Om te kwantificeren over reële getallen. Het kwantificeringsdomein moet echter vaak expliciet worden gespecificeerd. Voor dit doel gebruiken we wat 'wordt genoemd'bewaakte kwantificering. Bijvoorbeeld:

Voor een even aantal n, n is prime.

Hier wordt het beoogde domein expliciet gemaakt door de uitdrukking "even aantal" na de kwantificator "sommige". In die zin zijn de zinnen "iemand", "niemand" enz. Ook voorbeelden van bewaakte kwantificering.

Kwantificering in formele taal

Notatie voor kwantificatoren

In de formele taal is het traditionele symbool voor de universele kwantificeerder "∀", een omgekeerde letter "A", wat staat voor het woord "alles". Het overeenkomstige symbool voor de existentiële kwantificeerder is "∃", een geroteerde letter "E", wat staat voor het woord "bestaat". Dienovereenkomstig zijn gekwantificeerde uitdrukkingen als volgt opgebouwd,

waar "P"geeft een formule aan. Veel variante notaties worden gebruikt, zoals

Al deze variaties zijn ook van toepassing op universele kwantificatie. Andere variaties voor de universele kwantificator zijn

Documenten uit het begin van de twintigste eeuw maken geen gebruik van het symbool ∀. De typische notatie was (X)P om "voor iedereen uit te drukken X, P, "en" (∃X)P"voor" bestaat X zoals dat P. "Het ∃-symbool werd omstreeks 1890 bedacht door Giuseppe Peano. Later, rond 1930, introduceerde Gerhard Gentzen het ∀-symbool voor universele kwantificatie. Frege's Begriffsschrift gebruikte een geheel andere notatie, die helemaal geen existentiële kwantificator bevatte; ∃X P werd in plaats daarvan altijd vertegenwoordigd met het Begriffsschrift-equivalent van ∀X P.

Formele semantiek

Nu illustreren we de manier waarop de kwantificatoren in formele talen worden behandeld door het voorbeeld van de logica van de eerste orde te nemen. De lezers worden verwezen naar predicaat calculus voor meer details.

Een interpretatie voor predicaatrekening van de eerste orde veronderstelt een gegeven domein van individuen X. Een formule EEN waarvan de vrije variabelen zijn X1,… , Xn wordt geïnterpreteerd als een functie met een booleaanse waarde F(v1,… , vn) van n argumenten, waarbij elk argument zich uitstrekt over het domein X. Booleaanse waarde betekent dat de functie een van de waarden aanneemt T (geïnterpreteerd als waarheid) of F (geïnterpreteerd als valsheid). De interpretatie van de formule

is de functie G van n-1 argumenten zodanig dat G(v1,… ,vn-1) = T als en alleen als F(v1,… , vn-1, w) = T voor iedere w in X. Als F(v1,… , vn-1, w) = F voor ten minste één waarde van w, vervolgens G(v1,… ,vn-1) = F. Evenzo de interpretatie van de formule

is de functie H van n-1 argumenten zodanig dat H(v1,… ,vn-1) = T als en alleen als F(v1,… ,vn-1, w) = T voor minstens één w en H(v1,… , vn-1) = F anders.

De semantiek voor kwantificering van uniekheid vereist eerste-orde predikaatrekening met gelijkheid. Dit betekent dat er een onderscheidend tweeplaats predikaat "=" wordt gegeven; de semantiek wordt ook dienovereenkomstig aangepast, zodat "=" altijd wordt geïnterpreteerd als de twee-plaats gelijkheidsrelatie op X. De interpretatie van

dan is de functie van n-1 argumenten, wat logisch is en van de interpretaties van

Geschiedenis van formalisatie

Term logica behandelt kwantificering op een manier die dichter bij de natuurlijke taal ligt en ook minder geschikt is voor formele analyse. Aristotelische logica behandelde Alle', Sommige en Nee in de eerste eeuw v.G.T. in een verhaal dat ook betrekking heeft op de alethische modaliteiten.

De eerste op variabelen gebaseerde behandeling van kwantificering was Gottlob Frege's 1879 Begriffsschrift. Om een ​​variabele universeel te kwantificeren, zou Frege een kuiltje in een overigens rechte lijn in zijn schematische formules maken en vervolgens de gekwantificeerde variabele over het kuiltje schrijven. Frege had geen specifieke notatie voor existentiële kwantificering, maar gebruikte het equivalent van . Freges behandeling van kwantificering bleef grotendeels onopgemerkt tot Bertrand Russell's 1903 Beginselen van wiskunde.

Ondertussen hebben Charles Sanders Peirce en zijn student O. H. Mitchell onafhankelijk het existentiële en de universele kwantificator uitgevonden, in werk dat zijn hoogtepunt bereikte in Peirce (1885). Peirce en Mitchell schreven ΠX en ΣX waar we nu schrijven ∀X en ∃X. Deze notatie is terug te vinden in de geschriften van Ernst Schroder, Leopold Loewenheim, Thoralf Skolem en Poolse logici tot in de jaren vijftig. Het is de aantekening van Kurt Goedels mijlpaal uit 1930 over de volledigheid van de eerste-orde-logica en het artikel uit 1931 over de onvolledigheid van Peano-rekenkunde. Peirce's latere existentiële grafieken kunnen worden gezien als stilzwijgende variabelen waarvan de kwantificering wordt bepaald door de kleinste instantie. Peirce's benadering van kwantificering had via Giuseppe Peano invloed op Ernst Schroder, William E. Johnson en heel Europa. De logica van Pierce heeft de afgelopen decennia veel aandacht getrokken door diegenen die geïnteresseerd zijn in heterogene redenering en diagrammatische gevolgtrekking.

Peano noteerde de universele kwantificeerder als (X). Vandaar "(X)φ "gaf aan dat de formule φ waar was voor alle waarden van X. Hij was de eerste die in 1897 de notatie gebruikte (∃X) voor existentiële kwantificatie. De Principia Mathematica van Whitehead en Russell gebruikten Peano's notatie, net als Quine en Alonzo Church gedurende hun hele loopbaan. Gentzen introduceerde het ∀-symbool 1935 naar analogie met Peano's ∃-symbool. ∀ werd pas in de jaren 1950 canoniek.

Referenties

  • Barwise, Jon en John Etchemendy. Taal, bewijs en logica. Stanford, Californië: CSLI Publications, 2002. ISBN 1889119083
  • Frege, Gottlob. 1879. Begriffsschrift. Vertaald door Jean van Heijenoort, 1967. Van Frege tot Godel: A Source Book on Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Druk op.
  • Hilbert, David en Wilhelm Ackermann. 1950 (1928). Principes van theoretische logica. Chelsea. Vertaling van Grundzüge der theoretischen Logik. Springer-Verlag.
  • Peirce, Charles. 1885. "Over de algebra van de logica: een bijdrage aan de notiefilosofie," American Journal of Mathematics 7: 180-202. Reprinted door Kloesel, N. et al, (eds.), 1993. Geschriften van C. S. Peirce, Vol. 5. Indiana Univ. Druk op.
  • Reichenbach, Hans. 1975 (1947). Elementen van symbolische logica. Dover Pubns, 1980. ISBN 0486240045
  • Westerstahl, Dag. "Quantifiers" in Goble, Lou (ed.), De Blackwell Guide to Philosophical Logic. Malden, Mass .: Blackwell Publishers, 2001. ISBN 0631206922

Externe links

Alle links opgehaald 17 juni 2019.

  • Gegeneraliseerde kwantificatoren Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Algemene filosofiebronnen

Pin
Send
Share
Send