Ik wil alles weten

Logaritme

Pin
Send
Share
Send


Deze relaties maakten dergelijke bewerkingen op twee getallen veel sneller en het juiste gebruik van logaritmen was een essentiële vaardigheid voordat vermenigvuldigingsrekenmachines beschikbaar kwamen.

De vergelijking is fundamenteel (het impliceert effectief de andere drie relaties in een veld) omdat het een isomorfisme tussen de beschrijft additieve groep en de multiplicatieve groep van het veld.

Om twee getallen te vermenigvuldigen, vond men de logaritmen van beide getallen in een tabel met algemene logaritmen, voegde ze toe en zocht het resultaat op in de tabel om het product te vinden. Dit is sneller dan ze met de hand te vermenigvuldigen, op voorwaarde dat het resultaat meer dan twee decimalen nodig heeft. De tafel die nodig was om een ​​nauwkeurigheid van zeven decimalen te krijgen, kon in een groot boek passen, en de tafel voor negen decimalen besloeg een paar planken.

De ontdekking van logaritmen net voor het tijdperk van Newton had een impact in de wetenschappelijke wereld, die kan worden vergeleken met de uitvinding van de computer in de twintigste eeuw, omdat veel te bewerkte berekeningen mogelijk werden.

Toen de chronometer in de achttiende eeuw werd uitgevonden, konden logaritmen alle berekeningen die nodig zijn voor astronomische navigatie worden teruggebracht tot slechts toevoegingen, waardoor het proces met een of twee orden van grootte wordt versneld. Een tabel met logaritmen met vijf decimalen, plus logaritmen van trigonometrische functies, was genoeg voor de meeste astronomische navigatieberekeningen, en die tabellen passen in een klein boekje.

Om machten of wortels van een getal te berekenen, werd de gemeenschappelijke logaritme van dat getal opgezocht en vermenigvuldigd of gedeeld door de radix. Interpolatie kan worden gebruikt voor een nog hogere precisie. Diaregels gebruikten logaritmen om dezelfde bewerkingen sneller uit te voeren, maar met veel minder precisie dan met behulp van tabellen. Andere hulpmiddelen voor het uitvoeren van vermenigvuldigingen vóór de uitvinding van de calculator zijn de botten van Napier en mechanische rekenmachines: zie geschiedenis van computerhardware.

Rekening

De afgeleide van de natuurlijke logaritme-functie is

(Een bewijs wordt hieronder getoond.)

Door de regel voor verandering van basis toe te passen, is de afgeleide voor andere bases

Het tegengif van het logaritme is

Zie ook: tabel met limieten van logaritmische functies, lijst met integralen van logaritmische functies.

Bewijs van de afgeleide

De afgeleide van de natuurlijke logaritmefunctie is gemakkelijk te vinden via de inverse functieregel. Omdat het omgekeerde van de logaritme-functie de exponentiële functie is, hebben we . Omdat de afgeleide van de exponentiële functie zelf is, vereenvoudigt de rechterkant van de vergelijking tot , het exponentiële opheffen van de logaritme.

Computers

Bij het overwegen van computers is het gebruikelijke geval dat het argument en het resultaat van de functie is een vorm van drijvende komma datatype. Merk op dat de meeste computertalen gebruiken voor deze functie terwijl de wordt meestal log10 (x) genoemd.

Omdat het argument een zwevend punt is, kan het nuttig zijn om het volgende te overwegen:

Een drijvende-kommawaarde x wordt voorgesteld door een mantisse m en exponent n te vormen

daarom

Dus in plaats van computergebruik we berekenen voor sommige m zodanig dat . Het hebben van in dit bereik betekent dat de waarde is altijd binnen het bereik . Sommige machines gebruiken de mantisse in het bereik en in dat geval zal de waarde voor u binnen het bereik liggen In beide gevallen is de serie nog eenvoudiger te berekenen.

Generalisaties

De gewone logaritme van positieve reals generaliseert naar negatieve en complexe argumenten, hoewel het een functie met meerdere waarden is waarvoor een aftakking nodig is die eindigt op het aftakpunt op 0 om een ​​gewone functie of hoofdtak te maken. De logaritme (te baseren e) van een complex getal z is het complexe getal ln (|z|) + ik arg(Z), waar |z| is de modulus van z, arg(Z) is het argument, en ik is de denkbeeldige eenheid.

De discrete logaritme is een verwant begrip in de theorie van eindige groepen. Het gaat om het oplossen van de vergelijking bn = X, waar b en X zijn elementen van de groep, en n is een geheel getal dat een macht aangeeft in de groepsbewerking. Voor sommige eindige groepen wordt aangenomen dat de discrete logaritme erg moeilijk te berekenen is, terwijl discrete exponentialen vrij eenvoudig zijn. Deze asymmetrie heeft toepassingen in cryptografie met openbare sleutels.

De logaritme van een matrix is ​​het omgekeerde van de exponentiële matrix.

EEN dubbel logaritme, , is de inverse functie van de dubbele exponentiële functie. EEN super-logaritme of hyper-logaritme is de inverse functie van de super-exponentiële functie. De super-logaritme van X groeit zelfs langzamer dan de dubbele logaritme voor groot X.

Voor elk positief b niet gelijk aan 1, het functielogboekb (X) is een isomorfisme van de groep van positieve reële getallen onder vermenigvuldiging tot de groep van (alle) reële getallen onder optelling. Het zijn de enige dergelijke isomorfismen die continu zijn. De logaritme-functie kan worden uitgebreid tot een Haar-maat in de topologische groep van positieve reële getallen onder vermenigvuldiging.

Notes

  1. ↑ James Mills Peirce, De elementen van logaritmen met een uitleg van de drie en vier plaats tabellen van logaritmische en trigonometrische functies (1873).
  2. 2.0 2.1 Math-forum, logaritmen: geschiedenis en gebruik opgehaald 20 november 2018.
  3. ↑ Groot-Brittannië Institute of Actuaries, Journal of the Institute of Actuaries and Assurance Magazine, 1873, Vol. 17 (Vergeten boeken, 2018, 978-0366971244).
  4. ↑ Charles Knight, Engelse cyclopedie, biografie, Vol. IV., Artikel "Prony."
  5. ↑ MathWorld, Common Logarithm. Ontvangen op 20 november 2018.

Referenties

  • Groot-Brittannië Institute of Actuaries, Journal of the Institute of Actuaries and Assurance Magazine, 1873, Vol. 17. Vergeten boeken, 2018. 978-0366971244
  • Ridder, Charles. The English Cyclopaedia, Vol. 4. Vergeten boeken, 2012.
  • Peirce, James Mills. De elementen van logaritmen met een uitleg van de drie en vier plaats tabellen van logaritmische en trigonometrische functies. Andesite Press, 2015. ISBN 978-1297495465
  • Przeworska-Rolewicz, D. Logaritmen en antilogaritmen: een algebraïsche analysebenadering met een appendix van Zbigniew Binderman (wiskunde en zijn toepassingen). New York, NY: Springer, 1998. ISBN 0792349741.
  • REA. Math Made Nice & Easy # 2: Procenten, Exponenten, Radicalen, Logaritmen en Algebra Basics (Math Made Nice & Easy). Piscataway, NJ: Research & Education Association, 1999. ISBN 0878912010.
  • Ryffel, Henry, Robert Green, Holbrook Horton en Edward Messal. Wiskunde op het werk. New York, NY: Industrial Press, Inc., 1999. ISBN 0831130830.

Externe links

Alle links zijn opgehaald op 20 november 2018.

  • Wiskundige logaritmen verklaren.
  • Logaritme op MathWorld.
  • Jost Burgi, Zwitserse uitvinder van logaritmen.
  • Logaritme rekenmachines en woordproblemen met werk getoond, voor scholieren.
  • Logaritmen - uit The Little Handbook of Statistical Practice.
  • Logaritmische functies

Pin
Send
Share
Send