Ik wil alles weten

John Wallis

Pin
Send
Share
Send


John Wallis (23 november 1616 - 28 oktober 1703) was een Engelse wiskundige die gedeeltelijk de eer kreeg voor de ontwikkeling van moderne calculus. Tussen 1643 en 1689 diende hij als hoofdcryptograaf voor het parlement en, later, het koninklijk hof. Hij wordt ook gecrediteerd met de introductie van het symbool voor oneindig.

De toonaangevende Engelse wiskundige voor de invloedrijke fysicus Isaac Newton, Wallis werd geboren in Ashford, Kent, in Engeland. Hij studeerde aan de universiteit van Cambridge en nam orders aan, maar werd in 1649 hoogleraar meetkunde aan de universiteit van Oxford. Zijn Arithmetica Infinitorum (The Arithmetic of Infinitesimals 1655) was een stimulans voor Newtons werk aan calculus en de binomiale stelling. Hij schreef ook over verhoudingen, mechanica, grammatica, logica, ontcijfering (hij ontcijferde gecodeerde berichten onderschept door Royalistische aanhangers), theologie en de leer van doven. Hij was een van de oprichters van de Royal Society. Asteroid 31982 Johnwallis is naar hem vernoemd.

Leven

John Wallis was de derde van de vijf kinderen van dominee John Wallis en Joanna Chapman. Hij werd aanvankelijk opgeleid aan een plaatselijke Ashford-school, maar verhuisde in 1625 naar de school van James Movat in Tenterden na een uitbraak van pest. Wallis werd voor het eerst blootgesteld aan wiskunde in 1631, op de bekende openbare school van dominee Martin Holbeach in Felsted; hij genoot wiskunde, maar zijn studie was grillig, omdat: "wiskunde, destijds bij ons, werd schaars gezien als academische studies, maar eerder mechanisch"(Scriba 1970).

Omdat het de bedoeling was dat hij arts werd, werd hij in 1632 naar Emmanuel College, Cambridge gestuurd. Terwijl hij daar was, pleitte hij voor de doctrine van de bloedsomloop, waarvan gezegd werd dat dit de eerste gelegenheid in Europa was waarop deze theorie publiekelijk werd gehandhaafd in een geschil. Zijn interesses waren echter gericht op wiskunde. Hij behaalde zijn graad in Bachelor of Arts in 1637 en een master in 1640, daarna toetrad hij tot het priesterschap. Wallis werd in 1644 gekozen voor een fellowship aan het Queens 'College in Cambridge, die hij echter moest aftreden na zijn huwelijk op 14 maart 1645 met Susanna Glyde.

Christopher Wren, de grote Engelse architect en de collega van Wallis in de groep wetenschappers die later de Royal Society werd

Gedurende deze tijd was Wallis dicht bij de puriteinse partij geweest, aan wie hij grote hulp verleende bij het ontcijferen van de royalistische berichten. De kwaliteit van cryptografie was op dat moment gemengd. Ondanks de individuele successen van die zoals de Franse wiskundige François Viète, werden de principes die ten grondslag liggen aan het ontwerp en de analyse van cijfers zeer slecht begrepen. De meeste cijfers waren ad-hocmethoden die afhankelijk waren van een geheim algoritme, in tegenstelling tot systemen op basis van een variabele sleutel. Wallis realiseerde zich dat deze laatste veel veiliger waren - zelfs als ze ze 'onbreekbaar' noemden. Hij was ook bezorgd over het gebruik van cijfers door buitenlandse mogendheden, en weigerde bijvoorbeeld het verzoek van Gottfried Leibniz uit 1697, de Duitse polymath en het universele genie van zijn tijd, om Hanoveriaanse studenten te leren over cryptografie.

In 1643 keerde hij terug naar Londen - hij werd kapelaan in St. Gabriel, Fenchurch Street - Wallis sloot zich aan bij de groep wetenschappers die later zou evolueren naar de Royal Society. Hij was eindelijk in staat om zijn wiskundige interesses te verwennen, de beheersing van de Clavis Mathematicae door de Engelse wiskundige William Oughtred in een paar weken in 1647. Hij begon al snel zijn eigen verhandelingen te schrijven over een breed scala aan onderwerpen. Gedurende zijn hele leven heeft Wallis belangrijke bijdragen geleverd aan trigonometrie, calculus, geometrie en de analyse van oneindige reeksen.

Wallis sloot zich aan bij de gematigde Presbyterianen bij het ondertekenen van de wederopbouw tegen de executie van Charles I, waardoor hij de blijvende vijandigheid van de heersende onafhankelijken opging. Ondanks hun tegenstand werd hij in 1649 benoemd tot Savilian Chair of Geometry aan de Oxford University, waar hij tot zijn dood op 28 oktober 1703 woonde. Naast zijn wiskundige werken schreef hij over theologie, logica, Engelse grammatica en filosofie . Hij was ook de eerste die een systeem bedacht om doofstommen te onderwijzen.

Wiskunde

In 1655 publiceerde Wallis een verhandeling over kegelsneden waarin ze analytisch werden gedefinieerd. Dit was het vroegste boek waarin deze krommen worden beschouwd en gedefinieerd als krommen van de tweede graad. Het hielp een deel van de waargenomen moeilijkheid en onduidelijkheid te verwijderen uit het werk van de Franse filosoof en wiskundige René Descartes over analytische geometrie.

Arithmetica Infinitorum, het belangrijkste werk van Wallis, werd gepubliceerd in 1656. In dit verhandeling werden de analysemethoden van Descartes en de Italiaanse wiskundige Bonaventura Cavalieri gesystematiseerd en uitgebreid, maar sommige idealen stonden open voor kritiek. Hij begint, na een kort stuk over kegelsneden, met het ontwikkelen van de standaardnotatie voor machten, die ze uitbreidt van positieve gehele getallen tot rationale getallen:

De talrijke algebraïsche toepassingen van deze ontdekking achterlatend, gaat hij vervolgens door integratie het gebied zoeken dat is ingesloten tussen de curve Y = Xm, de as van Xen elke ordinaat X = h, en hij bewijst dat de verhouding van dit gebied tot die van het parallellogram op dezelfde basis en van dezelfde hoogte 1 / (m + 1). Hij nam blijkbaar aan dat hetzelfde resultaat ook voor de curve zou gelden Y = bijlmwaar een is elke constante, en m elk getal positief of negatief; maar hij bespreekt alleen het geval van de parabool waarin m = 2, en die van de hyperbool waarin m = −1. In het laatste geval is zijn interpretatie van het resultaat onjuist. Hij laat vervolgens zien dat vergelijkbare resultaten kunnen worden opgeschreven voor elke curve van het formulier

en vandaar dat, als de ordinaat Y van een curve kan worden uitgebreid in bevoegdheden van X, het gebied kan worden bepaald: dus zegt hij dat als de vergelijking van de curve is Y = X0 + X1 + X2 + ..., het gebied zou zijn X + x2/2 + X3/ 3 + ... Hij past dit dan toe op de kwadratuur van de curven Y = (XX2)0, Y = (XX2)1, Y = (XX2)2, enz. genomen tussen de limieten X = 0 en X = 1. Hij laat zien dat de gebieden respectievelijk 1, 1/6, 1/30, 1/140, enz. Zijn. Hij beschouwt vervolgens krommen van de vorm Y = X1 / m en stelt de stelling vast dat het gebied begrensd door deze curve en de lijnen X = 0 en X = 1 is gelijk aan het gebied van de rechthoek op dezelfde basis en op dezelfde hoogte als m : m + 1. Dit komt overeen met computing

Hij illustreert dit door de parabool, in welk geval m = 2. Hij vermeldt, maar bewijst niet, het overeenkomstige resultaat voor een curve van de vorm Y = Xp / q.

Wallis toonde veel vindingrijkheid in het verminderen van de vergelijkingen van krommen tot de hierboven gegeven vormen, maar omdat hij niet bekend was met de binomiale stelling, kon hij de kwadratuur van de cirkel, waarvan de vergelijking is, niet beïnvloeden , omdat hij dit niet kon uitbreiden in bevoegdheden van X. Hij legde echter het principe van interpolatie vast. Dus als de ordinaat van de cirkel is het geometrische gemiddelde tussen de ordinaten van de krommen en , zou men kunnen veronderstellen dat, bij benadering, het gebied van de halve cirkel welke is kan worden genomen als het geometrische gemiddelde tussen de waarden van

dat wil zeggen 1 en ; dit is hetzelfde als nemen of 3,26 ... als de waarde van π. Maar, aldus Wallis, we hebben in feite een serie ... en daarom de term geïnterpoleerd tussen 1 en zou moeten worden gekozen om de wet van deze serie te gehoorzamen. Dit leidt door een uitgebreide methode tot een waarde voor de geïnterpoleerde term die gelijk is aan nemen

(dat nu bekend staat als het Wallis-product.)

In dit werk worden ook de vorming en eigenschappen van voortgezette fracties besproken, waarbij het onderwerp onder de aandacht is gebracht door het gebruik van deze fracties door de Ierse wiskundige William Brouncker.

Enkele jaren later, in 1659, publiceerde Wallis een traktaat met de oplossing van de problemen met de cycloïde die waren voorgesteld door de Franse wiskundige Blaise Pascal. Deze verklaring wordt, vreemd genoeg, gegeven zijn middelste naam en wordt de genoemd Verklaring Detsub. Hierin legde hij incidenteel uit hoe de principes in hem werden vastgelegd Arithmetica Infinitorum kan worden gebruikt voor de rectificatie van algebraïsche krommen; en gaf een oplossing van het probleem om de semi-kubieke parabool te corrigeren (d.w.z. de lengte van te vinden) X3 = ja2, die in 1657 was ontdekt door zijn leerling, de Engelse wiskundige William Neil. Omdat alle pogingen om de ellips en hyperbool te corrigeren (noodzakelijk) ineffectief waren geweest, werd verondersteld dat er geen curves konden worden gecorrigeerd, zoals Descartes inderdaad had beweerd dat dit het geval was. De logaritmische spiraal was gecorrigeerd door de Italiaanse natuurkundige en wiskundige Evangelista Torricelli en was de eerste gebogen lijn (anders dan de cirkel) waarvan de lengte werd bepaald, maar de uitbreiding door Neil en Wallis tot een algebraïsche curve was nieuw. Het cycloïde was de volgende gecorrigeerde curve; dit werd gedaan in 1658 door de Engelse architect, Christopher Wren.

Begin 1658 werd een soortgelijke ontdekking, onafhankelijk van die van Neil, gedaan door de Nederlandse wiskundige Hendrik van Heuraët, en deze werd gepubliceerd door de Nederlandse wiskundige Frans van Schooten in zijn editie van Descartes's Geometria in 1659. De methode van Van Heuraët is als volgt . Hij veronderstelt dat de curve naar rechthoekige assen moet worden verwezen; als dit zo is en als (X, Y) de coördinaten zijn van een willekeurig punt erop, en n de lengte van de normaal zijn, en als een ander punt waarvan de coördinaten zijn (x, η) zodanig worden genomen η: h = n: y, waar h een constante is; dan, als ds het element van de lengte van de vereiste curve is, hebben we door vergelijkbare driehoeken ds: dx = n: y. daarom h ds = η dx. Vandaar dat als het gebied van de locus van het punt (x, η) kan worden gevonden, kan de eerste curve worden gecorrigeerd. Op deze manier bewerkstelligde van Heuraët de rectificatie van de curve y3 = bijl2 maar voegde eraan toe dat de rectificatie van de parabool y2 = bijl is onmogelijk omdat het de kwadratuur van de hyperbool vereist. De oplossingen van Neil en Wallis zijn enigszins vergelijkbaar met die van van Heuraët, hoewel geen algemene regel wordt verkondigd en de analyse onhandig is. Een derde methode werd voorgesteld door de Franse wiskundige Pierre de Fermat in 1660, maar deze is onelegant en moeizaam.

De Nederlandse wiskundige Christiaan Huygens was Wallis 'collega bij de Royal Society.

De theorie van de botsing van lichamen werd in 1668 door de Royal Society voorgesteld ter overweging van wiskundigen. Wallis, Wren en de Nederlandse wiskundige Christiaan stuurden correcte en vergelijkbare oplossingen, allemaal afhankelijk van wat nu het behoud van momentum wordt genoemd; maar terwijl Wren en Huygens hun theorie beperkten tot perfect elastische lichamen, beschouwde Wallis ook imperfect elastische lichamen. Dit werd gevolgd in 1669 door een werk over statica (zwaartepunten), en in 1670 door één over dynamiek: deze bieden een handige samenvatting van wat toen over het onderwerp bekend was.

In 1685 publiceerde Wallis Algebra, voorafgegaan door een historisch verslag van de ontwikkeling van het onderwerp, dat veel waardevolle informatie bevat. De tweede editie, uitgegeven in 1693 en vormt het tweede deel van zijn Opera, werd aanzienlijk vergroot. Het is opmerkelijk dat deze algebra het eerste systematische gebruik van formules bevat. Een gegeven grootte wordt hier voorgesteld door de numerieke verhouding die het draagt ​​tot de eenheid van dezelfde soort grootte: wanneer Wallis twee lengtes wil vergelijken, beschouwt hij elk dat ze zoveel lengte-eenheden bevatten. Dit zal misschien duidelijker worden gemaakt door op te merken dat de relatie tussen de ruimte die op enig moment wordt beschreven door een deeltje dat met een uniforme snelheid beweegt, door Wallis wordt aangeduid met de formule s = vtwaar s is het getal dat de verhouding weergeeft van de beschreven ruimte tot de lengte-eenheid; terwijl de vorige schrijvers dezelfde relatie zouden hebben aangegeven door te verklaren wat equivalent is aan de propositie s1 : s2 = v1t1 : v2t2. Het is merkwaardig op te merken dat Wallis het nu gebruikelijke idee van een negatief getal als minder dan niets verwierp, maar de opvatting aanvaardde dat het iets is dat groter is dan oneindig.

Desondanks wordt hij over het algemeen gecrediteerd als de grondlegger van het idee van de getallenlijn, waarbij getallen geometrisch worden weergegeven in een lijn met de positieve getallen naar rechts en negatieve getallen naar links.

In zijn Opera Mathematica I (1695) Wallis introduceerde de term "voortgezette fractie".

Nalatenschap

Isaac Newton in 1689Het oneindigheidssymbool in acht type gezichten

John Wallis heeft veel bijgedragen aan veel van de onderliggende concepten die de calculus zouden vormen en is ongetwijfeld een van de mannen waarnaar Newton verwees toen hij verklaarde dat hij alleen maar "op de schouders van reuzen stond".

In de jaren 1650 maakte Wallis deel uit van een groep die geïnteresseerd was in natuurlijke en experimentele wetenschap en die regelmatig in Londen begon samen te komen. Deze groep zou de Royal Society worden, dus Wallis is een van de oprichters van de Royal Society en een van de eerste Fellows.

Zijn grootste impact was echter in zijn wiskundige werk. Hij schreef veel artikelen, waarvan een groot aantal de onderliggende ideeën vormde achter de ontwikkeling van calculus, die net om de hoek lag. Zijn beroemdste werk omvat de introductie van het gebruik van oneindige reeksen als een gewoon onderdeel van wiskundige analyse. Zijn papieren stonden ook bekend om het feit dat ze de principes van de nieuwe analysemethoden onthulden en in zeer duidelijke taal uitlegden, niet alleen door hem, maar ook door zijn tijdgenoten en directe voorgangers. Het was in feite deze schrijfstijl die Newton enorm hielp bij zijn ontwikkeling van calculus.

Het meest invloedrijke werk van Wallis is het Arithmetica infinitorum (1656), waarin hij de integraal van (1 - x2) n evalueerde van 0 tot 1 voor integrale waarden van n. Zijn procedure legde echt de basis voor meer algemene technieken voor de evaluatie van integralen, geleend van de Duitse wiskundige Johannes Kepler. Hij introduceerde ook het symbool voor oneindigheid, , dat nog steeds wordt gebruikt, evenals de ontwikkeling van een oneindige productformule voor pi.

Wallis liet een erfenis achter van de studie van oneindigheid, kegelsneden en nog veel meer, die samen hielpen bij het definiëren van de onderliggende rekenregels. Zijn uiteenlopende geschriften bieden een solide glimp van een originele geest op het werk die vele wegen volgde in de loop van de wiskundige ontdekking.

Referenties

  • Beeley, Philip en Christoph Scriba. Correspondentie van John Wallis (1616-1703): Deel I (1641-1659). Oxford University Press, 2003. ISBN 9780198510666
  • Scott, J.F. Wiskundig werk van John Wallis. Chelsea Publishing Company, 1981. ISBN 9780828403146
  • Wallis, John en J.A. Stedall. The Arithmetic of Infinitesimals: John Wallis 1656. Springer, 2004. ISBN 9780387207094
  • Wallis, John en Uwe Mayer. De correspondentie van John Wallis: Deel II (1660 - september 1668). Oxford University Press, 2005. ISBN 9780198566014

Pin
Send
Share
Send