Pin
Send
Share
Send


vibratie verwijst naar mechanische oscillaties rond een evenwichtspunt. De trillingen kunnen periodiek zijn, zoals de beweging van een slinger, of willekeurig, zoals de beweging van een band op een onverharde weg. Trillingen hangen nauw samen met geluid, dat de vorm aanneemt van 'drukgolven'. Deze golven worden gegenereerd door trillende structuren, zoals stembanden, muziekinstrumenten en luidsprekers. Dezelfde golven kunnen de vibratie van andere structuren veroorzaken, zoals de trommelvlies.

Veel soorten trillingen worden als ongewenst beschouwd, omdat ze energie verspillen en ongewenste geluiden maken, die de meeste mensen geluid noemen. De trillingsbewegingen van motoren, elektromotoren of elk mechanisch apparaat in werking zijn bijvoorbeeld typisch ongewenst. Dergelijke trillingen kunnen worden veroorzaakt door onevenwichtigheden in de roterende delen, ongelijke wrijving, het in elkaar grijpen van tandwieltanden, enzovoort. Zorgvuldige ontwerpen zijn nodig om ongewenste trillingen te minimaliseren.

Een van de mogelijke vibratiemodi van een cirkelvormige trommel.Een van de mogelijke vibratiemodi van een vrijdragende I-balk.

Soorten trillingen

Vrije trillingen treedt op wanneer een mechanisch systeem met een initiële ingang wordt verrekend en vervolgens vrij kan trillen. Voorbeelden van dit soort trillingen zijn het terugtrekken van een kind op een schommel en vervolgens loslaten of een stemvork slaan en laten rinkelen. Het mechanische systeem zal dan trillen op een of meer van zijn "natuurlijke frequenties" en tot nul dempen.

Gedwongen trillingen is wanneer een alternerende kracht of beweging wordt uitgeoefend op een mechanisch systeem. Voorbeelden van dit soort trillingen zijn een machinale schudbewerking als gevolg van een onbalans, transporttrillingen (veroorzaakt door vrachtwagenmotor, veren, weg, enzovoort), of de trillingen van een gebouw tijdens een aardbeving. Bij geforceerde trilling is de frequentie van de trilling de frequentie van de uitgeoefende kracht of beweging, waarbij de orde van grootte afhankelijk is van het feitelijke mechanische systeem.

Trillingen testen

Trillingstesten worden uitgevoerd door een forceerfunctie in een structuur te introduceren, meestal met een soort schudapparaat. In het algemeen worden een of meer punten op de structuur op een gespecificeerd trillingsniveau gehouden. Twee typische soorten uitgevoerde vibratietests zijn willekeurige en sinustesten. Sinus-tests worden uitgevoerd om de structurele respons van het te testen apparaat (DUT) te onderzoeken. Een willekeurige test wordt meestal uitgevoerd om een ​​echte wereldomgeving beter te repliceren.

De meeste trillingsproeven worden uitgevoerd op de verticale as. Sommige kunnen horizontaal, in meerdere assen of roterend worden uitgevoerd.

Trillingsanalyse

De basisprincipes van trillingsanalyse kunnen worden begrepen door het eenvoudige model met massieve veerdemper te bestuderen. Inderdaad, zelfs een complexe structuur zoals een carrosserie kan worden gemodelleerd als een "sommatie" van eenvoudige modellen met massieve veerdemper. Het model met massieve veerdemper is een voorbeeld van een eenvoudige harmonische oscillator. De wiskunde die wordt gebruikt om zijn gedrag te beschrijven, is identiek aan andere eenvoudige harmonische oscillatoren zoals het RLC-circuit.

Opmerking: in dit artikel worden de stapsgewijze wiskundige afleidingen niet opgenomen, maar worden de belangrijkste vergelijkingen en concepten in trillingsanalyse behandeld. Raadpleeg de referenties aan het einde van het artikel voor gedetailleerde afleidingen.

Vrije trillingen zonder demping

Om het onderzoek naar de massa-veer-demper te starten, gaan we ervan uit dat de demping te verwaarlozen is en dat er geen externe kracht op de massa wordt uitgeoefend (dat wil zeggen vrije trilling).

De kracht die door de veer op de massa wordt uitgeoefend, is evenredig met de hoeveelheid waarmee de veer "x" wordt uitgerekt (we nemen aan dat de veer al is samengedrukt vanwege het gewicht van de massa). De evenredigheidsconstante, k, is de stijfheid van de veer en heeft eenheden van kracht / afstand (bijv. Lbf / in of N / m)

De kracht opgewekt door de massa is evenredig met de versnelling van de massa zoals gegeven door de tweede bewegingswet van Newton.

De som van de krachten op de massa genereert vervolgens deze gewone differentiaalvergelijking:

Eenvoudige harmonische beweging van het massa-veersysteem

Als we aannemen dat we het systeem laten trillen door de veer over de afstand van te rekken EEN en loslaten, de oplossing voor de bovenstaande vergelijking die de beweging van massa beschrijft is:

Deze oplossing zegt dat het zal oscilleren met eenvoudige harmonische bewegingen met een amplitude van EEN en een frequentie van Het nummer is een van de belangrijkste hoeveelheden bij trillingsanalyse en wordt de ongedempte natuurlijke frequentie. Voor het eenvoudige massa-veersysteem, is gedefinieerd als:

Opmerking: hoekfrequentie () met de eenheden van radialen per seconde wordt vaak gebruikt in vergelijkingen omdat het de vergelijkingen vereenvoudigt, maar normaal wordt omgezet in "standaard" frequentie (eenheden van Hz of equivalent cycli per seconde) bij het vermelden van de frequentie van een systeem.

Als u de massa en stijfheid van het systeem kent, kunt u de frequentie bepalen waarmee het systeem zal trillen zodra het in beweging wordt gezet door een initiële storing met behulp van de bovengenoemde formule. Elk vibrerend systeem heeft een of meer natuurlijke frequenties die het zal trillen zodra het wordt verstoord. Deze eenvoudige relatie kan worden gebruikt om in het algemeen te begrijpen wat er zal gebeuren met een complexer systeem als we massa of stijfheid toevoegen. De bovenstaande formule verklaart bijvoorbeeld waarom wanneer een auto of vrachtwagen volledig is geladen, de ophanging "zachter" aanvoelt dan onbelast omdat de massa is toegenomen en daarom de natuurlijke frequentie van het systeem heeft verlaagd.

Wat veroorzaakt dat het systeem zonder kracht trilt?

Deze formules beschrijven de resulterende beweging, maar ze verklaren niet waarom het systeem oscilleert. De reden voor de oscillatie is te wijten aan het behoud van energie. In het bovenstaande voorbeeld hebben we de veer met een waarde van verlengd EEN en daarom potentiële energie hebben opgeslagen () in de lente. Zodra we de veer loslaten, probeert de veer terug te keren naar zijn niet-uitgerekte toestand en versnelt in het proces de massa. Op het punt waar de veer zijn niet-uitgerekte toestand heeft bereikt, heeft deze niet langer energie opgeslagen, maar heeft de massa zijn maximale snelheid bereikt en daarom is alle energie omgezet in kinetische energie (). De massa begint dan te vertragen omdat deze nu de veer samendrukt en daarbij de kinetische energie terugbrengt naar zijn potentieel. Dit overbrengen van de kinetische energie in de massa en de potentiële energie in de veer zorgt ervoor dat de massa oscilleert.

In dit eenvoudige model zal de massa voor altijd blijven schommelen op dezelfde grootte, maar in een echt systeem is er altijd iets genaamd demping dat dissipeert de energie en daarom brengt het systeem het uiteindelijk tot rust.

Vrije trillingen met demping

We voegen nu een "viskeuze" demper toe aan het model dat een kracht uitvoert die evenredig is met de snelheid van de massa. De demping wordt viskeus genoemd omdat deze de effecten van een object in een vloeistof modelleert. De evenredigheidsconstante c wordt de dempingcoëfficiënt genoemd en heeft eenheden van kracht boven snelheid (lbf s / in of N s / m).

Door de krachten op de massa op te tellen, levert dit de volgende gewone differentiaalvergelijking op:

De oplossing voor deze vergelijking hangt af van de hoeveelheid demping. Als de demping klein genoeg is, zal het systeem nog steeds trillen, maar uiteindelijk zal het na verloop van tijd stoppen met trillen. Deze case wordt onderdemping genoemd - deze case is het meest interessant voor trillingsanalyse. Als we de demping verhogen tot het punt waar het systeem niet meer oscilleert, bereiken we het punt van kritische demping (als de demping voorbij kritieke demping wordt verhoogd, wordt het systeem overgedempt genoemd). De waarde die de dempingcoëfficiënt moet bereiken voor kritische demping in het model met massieve veerdemper is:

Om de hoeveelheid demping in een systeem te karakteriseren, wordt een verhouding gebruikt die de dempingsverhouding wordt genoemd (ook bekend als dempingsfactor en% kritische demping). Deze dempingsverhouding is slechts een verhouding van de werkelijke demping ten opzichte van de hoeveelheid demping die nodig is om kritische demping te bereiken. De formule voor de dempingsverhouding () van het model met massieve veerdemper is:

Metalen constructies (bijvoorbeeld vliegtuigromp, motorkrukas) hebben bijvoorbeeld dempingsfactoren van minder dan 0,05, terwijl auto-ophangingen in het bereik van 0,2-0,3 liggen.

De oplossing voor het ondergedempte systeem voor het model met massieve veerdemper is de volgende:

De waarde van X, de oorspronkelijke grootte, en , de faseverschuiving, worden bepaald door de mate waarin de veer wordt uitgerekt. De formules voor deze waarden zijn te vinden in de referenties.

De belangrijkste aandachtspunten uit de oplossing zijn de exponentiële term en de cosinusfunctie. De exponentiële term definieert hoe snel het systeem "dempt" naar beneden - hoe groter de dempingsverhouding, hoe sneller het dempt tot nul. De cosinusfunctie is het oscillerende gedeelte van de oplossing, maar de frequentie van de oscillaties verschilt van het ongedempte geval.

De frequentie wordt in dit geval de 'gedempte natuurlijke frequentie' genoemd , en is gerelateerd aan de ongedempte natuurlijke frequentie door de volgende formule:

De gedempte natuurlijke frequentie is minder dan de ongedempte natuurlijke frequentie, maar voor veel praktische gevallen is de dempingsverhouding relatief klein en daarom is het verschil te verwaarlozen. Daarom vallen de gedempte en ongedempte beschrijving vaak weg bij het vermelden van de natuurlijke frequentie (bijvoorbeeld met een 0,1 dempingsverhouding is de gedempte natuurlijke frequentie slechts 1 procent minder dan de ongedempte).

De grafieken aan de zijkant laten zien hoe 0,1 en 0,3 dempingsverhoudingen invloed hebben op hoe het systeem in de loop van de tijd naar beneden zal "bellen". Wat in de praktijk vaak wordt gedaan, is het experimenteel meten van de vrije trillingen na een impact (bijvoorbeeld met een hamer) en vervolgens de natuurlijke frequentie van het systeem bepalen door de oscillatiesnelheid en de dempingsverhouding te meten door de snelheid van het verval te meten . De natuurlijke frequentie en dempingsverhouding zijn niet alleen belangrijk bij vrije trillingen, maar kenmerken ook hoe een systeem zich zal gedragen onder geforceerde trillingen.

Gedwongen trillingen met demping

In deze sectie zullen we kijken naar het gedrag van het veermassamodel wanneer we een harmonische kracht toevoegen in de onderstaande vorm. Een dergelijke kracht kan bijvoorbeeld worden opgewekt door een roterende onbalans.

Als we de krachten op de massa opnieuw optellen, krijgen we de volgende gewone differentiaalvergelijking:

De stabiele oplossing van dit probleem kan worden geschreven als:

Het resultaat stelt dat de massa zal oscilleren met dezelfde frequentie, f, van de uitgeoefende kracht, maar met een faseverschuiving .

De amplitude van de vibratie "X" wordt bepaald door de volgende formule.

Waar "r" wordt gedefinieerd als de verhouding van de harmonische krachtfrequentie ten opzichte van de ongedempte natuurlijke frequentie van het massa-veer-dempermodel.

De faseverschuiving, wordt gedefinieerd door de volgende formule.

De plot van deze functies, "de frequentierespons van het systeem" genoemd, presenteert een van de belangrijkste kenmerken van geforceerde trillingen. In een licht gedempt systeem wanneer de dwingende frequentie de natuurlijke frequentie nadert () de amplitude van de trilling kan extreem hoog worden. Dit fenomeen wordt genoemd resonantie (vervolgens wordt de natuurlijke frequentie van een systeem vaak de resonantiefrequentie genoemd). In rotorlagersystemen wordt elke rotatiesnelheid die een resonantiefrequentie opwekt een kritische snelheid genoemd.

Als resonantie optreedt in een mechanisch systeem, kan dit zeer schadelijk zijn, wat kan leiden tot uiteindelijk falen van het systeem. Bijgevolg is een van de belangrijkste redenen voor trillingsanalyse om te voorspellen wanneer dit type resonantie kan optreden en vervolgens te bepalen welke maatregelen moeten worden genomen om te voorkomen dat dit gebeurt. Zoals de amplitudeplot laat zien, kan het toevoegen van demping de grootte van de trillingen aanzienlijk verminderen. Ook kan de grootte worden verkleind als de natuurlijke frequentie van de dwingende frequentie kan worden weggeschoven door de stijfheid of massa van het systeem te veranderen. Als het systeem niet kan worden gewijzigd, kan misschien de dwingende frequentie worden verschoven (bijvoorbeeld het veranderen van de snelheid van de machine die de kracht genereert).

Hieronder volgen enkele andere punten met betrekking tot de geforceerde vibratie die wordt getoond in de frequentieresponsgrafieken.

  • Bij een gegeven frequentieverhouding, de amplitude van de trilling, X, is recht evenredig met de amplitude van de kracht (bijvoorbeeld, als iemand de kracht verdubbelt, verdubbelt de vibratie)
  • Met weinig of geen demping is de trilling in fase met de dwingende frequentie wanneer de frequentieverhouding r <1 en 180 graden uit fase wanneer de frequentieverhouding r >1
  • Wanneer r << 1 is de amplitude slechts de afbuiging van de veer onder de statische kracht . Deze afbuiging wordt de statische afbuiging genoemd . Daarom zijn bij r << 1 de effecten van de demper en de massa minimaal.
  • Wanneer r >> 1 is de amplitude van de trilling feitelijk minder dan de statische afbuiging . In dit gebied domineert de kracht gegenereerd door de massa (F = ma) omdat de versnelling die door de massa wordt gezien toeneemt met de frequentie. Sinds de afbuiging gezien in de lente, X, wordt verminderd in dit gebied, de kracht die wordt overgebracht door de veer (F=kx) tot de basis is verminderd. Daarom isoleert het massa-veer-dempersysteem de harmonische kracht van de montagebasis, ook wel trillingsisolatie genoemd. Interessant is dat meer demping de effecten van trillingsisolatie vermindert wanneer r >> 1 omdat de dempingskracht (F=CV) wordt ook naar de basis verzonden.

Wat veroorzaakt resonantie?

Resonantie is eenvoudig te begrijpen als u de veer en massa als energieopslagelementen ziet - waarbij de massa kinetische energie opslaat en de veer potentiële energie opslaat. Zoals eerder besproken, wanneer de massa en de veer geen kracht hebben die daarop inwerkt, brengen ze energie heen en weer met een snelheid gelijk aan de natuurlijke frequentie. Met andere woorden, als energie efficiënt in zowel de massa als de veer moet worden gepompt, moet de energiebron de energie aanvoeren met een snelheid die gelijk is aan de natuurlijke frequentie. Het uitoefenen van een kracht op de massa en de veer is vergelijkbaar met het duwen van een kind op schommel, men moet op het juiste moment duwen als u wilt dat de schommel hoger en hoger wordt. Zoals in het geval van de zwaai, hoeft de uitgeoefende kracht niet noodzakelijk hoog te zijn om grote bewegingen te krijgen; de duwtjes hoeven alleen maar energie aan het systeem toe te voegen.

De demper dissipeert energie in plaats van energie op te slaan. Omdat de dempingskracht evenredig is met de snelheid, des te meer beweging, des te meer de demper de energie dissipeert. Daarom zal er een punt komen dat de energie die wordt afgevoerd door de demper gelijk is aan de energie die door de kracht wordt ingevoerd. Op dit punt heeft het systeem zijn maximale amplitude bereikt en zal op dit niveau blijven trillen zolang de uitgeoefende kracht hetzelfde blijft. Als er geen demping bestaat, is er niets om de energie af te voeren en daarom zal de beweging in theorie blijven doorgroeien tot in het oneindige.

Het toepassen van "complexe" krachten op het model met massieve veerdemper

In een vorige sectie werd alleen een eenvoudige harmonische kracht op het model uitgeoefend, maar deze kan aanzienlijk worden uitgebreid met behulp van twee krachtige wiskundige hulpmiddelen. De eerste is de Fourier-transformatie die een signaal neemt als functie van tijd (tijdsdomein) en het opsplitst in zijn harmonische componenten als functie van frequentie (frequentiedomein). Laten we bijvoorbeeld een kracht uitoefenen op het model met massieve veerdemper dat de volgende cyclus herhaalt - een kracht gelijk aan 1 newton gedurende 0,5 seconde en vervolgens geen kracht gedurende 0,5 seconde. Dit type kracht heeft de vorm van een vierkante golf van 1 Hz.

Hoe een 1 Hz blokgolf kan worden weergegeven als een sommatie van sinusgolven (harmonischen) en het bijbehorende frequentiespectrum

De Fourier-transformatie van de blokgolf genereert een frequentiespectrum dat de grootte weergeeft van de harmonischen waaruit de blokgolf bestaat (de fase wordt ook gegenereerd, maar is doorgaans minder van belang en wordt daarom vaak niet uitgezet). De Fourier-transformatie kan ook worden gebruikt om niet-periodieke functies zoals transiënten (bijvoorbeeld impulsen) en willekeurige functies te analyseren. Met de komst van de moderne computer wordt de Fourier-transformatie bijna altijd berekend met behulp van het Fast Fourier Transform (FFT) computeralgoritme in combinatie met een vensterfunctie.

In het geval van onze blokgolfkracht is de eerste component in feite een constante kracht van 0,5 newton en wordt deze voorgesteld door een waarde bij "0" Hz in het frequentiespectrum. De volgende component is een sinusgolf van 1 Hz met een amplitude van 0,64. Dit wordt aangegeven door de lijn bij 1 Hz. De resterende componenten hebben oneven frequenties en er is een oneindige hoeveelheid sinusgolven nodig om de perfecte blokgolf te genereren. Met de Fourier-transformatie kunt u de kracht dus interpreteren als een som van sinusvormige krachten die worden uitgeoefend in plaats van een meer "complexe" kracht (bijvoorbeeld een blokgolf).

In de vorige paragraaf werd de trillingsoplossing gegeven voor een enkele harmonische kracht, maar de Fourier-transformatie zal in het algemeen meerdere harmonische krachten geven. Met het tweede wiskundige hulpmiddel, "het principe van superpositie", kunt u de oplossingen uit meerdere krachten optellen als het systeem lineair is. In het geval van het veer-massa-dempermodel is het systeem lineair als de veerkracht evenredig is met de verplaatsing en de demping evenredig is met de snelheid over het bewegingsbereik van belang. Daarom is de oplossing voor het probleem met een blokgolf het optellen van de voorspelde vibratie van elk van de harmonische krachten die in het frequentiespectrum van de blokgolf worden gevonden.

Frequentiebereikmodel

We kunnen de oplossing van een trillingsprobleem zien als een input / output-relatie - waarbij de kracht de input is en de output de vibratie is. Als iemand de kracht en trillingen in het frequentiedomein (grootte en fase) vertegenwoordigt, kunnen we de volgende relatie schrijven:

wordt de frequentieresponsiefunctie genoemd (ook wel de overdrachtsfunctie genoemd, maar technisch gezien niet zo nauwkeurig) en heeft zowel een grootte- als een fasecomponent (indien weergegeven als een complex getal, een reële en denkbeeldige component). De grootte van de frequentieresponsiefunctie (FRF) werd eerder gepresenteerd voor het massa-veer-dempersysteem.

De fase van de FRF werd ook eerder gepresenteerd als:

Laten we bijvoorbeeld de FRF berekenen voor een massa-veer-dempersysteem met een massa van 1 kg, veerstijfheid van 1,93 N / mm en een dempingsverhouding van 0,1. De waarden van de veer en massa geven een natuurlijke frequentie van 7 Hz voor dit specifieke systeem. Als we de 1 Hz blokgolf van eerdere toepassen, kan men de voorspelde vibratie van de massa berekenen. De figuur illustreert de resulterende trillingen. Het gebeurt in dit voorbeeld dat de vierde harmonische van de blokgolf op 7 Hz valt. De frequentierespons van de massa-veer-demper voert daarom een ​​hoge 7 Hz-vibratie uit, hoewel de ingangskracht een relatief lage harmonische van 7 Hz had. Dit voorbeeld benadrukt dat de resulterende vibratie afhankelijk is van zowel de dwangfunctie als het systeem waarop de kracht wordt uitgeoefend.

Frequentiebereikmodel.

De figuur toont ook de tijdsdomeinrepresentatie van de resulterende trillingen. Dit wordt gedaan door een inverse Fourier-transformatie uit te voeren die frequentiedomeingegevens omzet in tijdsdomein. In de praktijk wordt dit zelden gedaan omdat het frequentiespectrum alle nodige informatie biedt.

De frequentieresponsfunctie (FRF) hoeft niet noodzakelijkerwijs te worden berekend op basis van de kennis van de massa, demping en stijfheid van het systeem, maar kan experimenteel worden gemeten. Als u bijvoorbeeld een bekende kracht toepast en de frequentie veegt en vervolgens de resulterende trillingen meet, kunt u de frequentie-responsfunctie berekenen en vervolgens het systeem karakteriseren. Deze techniek wordt gebruikt op het gebied van experimentele modale analyse om de trillingskenmerken van een constructie te bepalen.

Meerdere vrijheidsstelsels en modusvormen

Het eenvoudige model met massieve veerdemper is de basis van trillingsanalyse, maar hoe zit het met meer complexe systemen? Het hierboven beschreven model met massieve veerdemper wordt een model van een enkele vrijheidsgraad (DOF) genoemd, omdat we hebben aangenomen dat de massa alleen op en neer beweegt. In het geval van complexere systemen moeten we het systeem in meer massa's onderscheiden en toestaan ​​dat ze in meer dan één richting bewegen en graden van vrijheid toevoegen. De belangrijkste concepten van meerdere vrijheidsgraden (MDOF) kunnen worden begrepen door te kijken naar slechts een vrijheidsmodel van 2 graden, zoals weergegeven in de figuur.

2 vrijheidsgraden.

De bewegingsvergelijkingen van het 2DOF-systeem blijken te zijn:

Men kan dit in matrixformaat herschrijven:

Een meer compacte vorm van deze matrixvergelijking kan worden geschreven als:

waar , en zijn symmetrische matrices die respectievelijk de massa-, dempings- en stijfheidsmatrices worden genoemd. De matrices zijn NxN vierkante matrices waarbij N het aantal vrijheidsgraden van het systeem is.

In de volgende analyse zullen we het geval beschouwen waarin er geen demping en geen uitgeoefende krachten zijn (dat wil zeggen vrije trillingen). De oplossing van een viskeus gedempt systeem is iets gecompliceerder en wordt getoond in Maia.1

Deze differentiaalvergelijking kan worden opgelost door het volgende type oplossing aan te nemen:

Opmerking: gebruik de exponentiële oplossing van is een wiskundige truc die wordt gebruikt om lineaire differentiaalvergelijkingen op te lossen. Als we de formule van Euler gebruiken en alleen het echte deel van de oplossing nemen, is dit dezelfde cosinusoplossing voor het 1 DOF-systeem. De exponentiële oplossing wordt alleen gebruikt omdat deze gemakkelijker wiskundig kan worden gemanipuleerd.

De vergelijking wordt dan:

Sinds kan niet gelijk zijn aan nul, de vergelijking wordt als volgt gereduceerd.

Eigenwaarde probleem

Dit wordt een eigenwaardeprobleem in de wiskunde genoemd en kan in het standaardformaat worden gezet door de vergelijking vooraf te vermenigvuldigen met

en als we het toelaten en

De oplossing voor het probleem resulteert in N eigenwaarden (d.w.z. ), waarbij N overeenkomt met het aantal vrijheidsgraden. De eigenwaarden geven de natuurlijke frequenties van het systeem. Wanneer deze eigenwaarden worden vervangen door de oorspronkelijke reeks vergelijkingen, worden de waarden van die overeenkomen met elke eigenwaarde worden de eigenvectoren. Deze eigenvectoren vertegenwoordigen de modusvormen van het systeem. De oplossing van een eigenwaardeprobleem kan behoorlijk omslachtig zijn (vooral voor problemen met veel vrijheidsgraden), maar gelukkig hebben de meeste wiskundige analyseprogramma's eigenwaarde routines.

De eigenwaarden en eigenvectoren worden vaak geschreven in het volgende matrixformaat en beschrijven het modale model van het systeem:

en

Een eenvoudig voorbeeld met behulp van ons 2 DOF-model kan de concepten helpen illustreren. Laat beide massa's een massa van 1 kg hebben en de stijfheid van alle drie de veren is gelijk aan 1000 N / m. De massa- en stijfheidsmatrix voor dit probleem zijn dan:

en

Vervolgens .

De eigenwaarden voor dit probleem gegeven door een eigenwaarde routine zijn:

De natuurlijke frequenties in de eenheden van Hertz zijn dan (onthouden) ) en .

De twee modusvormen voor de respectieve natuurlijke frequenties worden gegeven als:

Omdat het systeem een ​​2 DOF-systeem is, zijn er twee modi met hun respectieve natuurlijke frequenties en vormen. De modusvormvectoren zijn niet de absolute beweging, maar beschrijven alleen de relatieve beweging van de vrijheidsgraden. In dit geval zegt de eerste modusvormvector dat de massa's samen in fase bewegen omdat ze dezelfde waarde en hetzelfde teken hebben. In het geval van de tweede modusvormvector beweegt elke massa in tegengestelde richting met dezelfde snelheid.

Illustratie van een meervoudig DOF-probleem

Wanneer er veel vrijheidsgraden zijn, kunt u de modusvormen het beste visualiseren door ze te animeren. Een voorbeeld van geanimeerde modusvormen wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding voor een vrijdragende I-balk. In dit geval werd een eindig elementenmodel gebruikt om de massa- en stijfheidsmatrices te genereren en het eigenwaardeprobleem op te lossen. Zelfs dit relatief eenvoudige model heeft meer dan 100 vrijheidsgraden en dus evenveel natuurlijke frequenties en modusvormen. Over het algemeen zijn alleen de eerste paar modi belangrijk.

De modusvormen van een vrijdragende I-balk
1e zijwaartse buiging1e torsie1e verticale buiging
2e zijwaartse buiging2e torsie2e verticale buiging

Meervoudig DOF-probleem geconverteerd naar een enkel DOF-probleem

De eigenvectoren hebben zeer belangrijke eigenschappen die orthogonaliteitseigenschappen worden genoemd. Deze eigenschappen kunnen worden gebruikt om de oplossing van modellen met meerdere vrijheidsgraden aanzienlijk te vereenvoudigen. Er kan worden aangetoond dat de eigenvectoren de volgende eigenschappen hebben:

en zijn diagonale matrices die de modale massa en stijfheidswaarden voor elk van de modi bevatten. (Opmerking: aangezien de eigenvectoren (modusvormen) willekeurig kunnen worden geschaald, worden de orthogonaliteitseigenschappen vaak gebruikt om de eigenvectoren te schalen, zodat de modale massawaarde voor elke modus gelijk is aan 1. De modale massamatrix is ​​daarom een ​​identiteitsmatrix)

Deze eigenschappen kunnen worden gebruikt om de oplossing van modellen met meerdere vrijheidsgraden aanzienlijk te vereenvoudigen door de volgende coördinaattransformatie te maken.

Als we deze coördinatentransformatie gebruiken in onze oorspronkelijke vrije trillingsverschilvergelijking, krijgen we de volgende vergelijking.

We kunnen profiteren van de orthogonaliteitseigenschappen door deze vergelijking vooraf te vervult met

De orthogonaliteitseigenschappen vereenvoudigen deze vergelijking vervolgens tot:

Deze vergelijking is de basis van trillingsanalyse voor systemen met meerdere vrijheidsgraden. Een vergelijkbaar type resultaat kan worden afgeleid voor gedempte systemen.1 De sleutel is dat de modale en stijfheidsmatrices diagonale matrices zijn en daarom hebben we de vergelijkingen "ontkoppeld". Met andere woorden, we hebben ons probleem getransformeerd van een groot log probleem met meerdere vrijheidsgraden in veel problemen met een enkele vrijheidsgraad die met dezelfde methoden kunnen worden opgelost die hierboven zijn beschreven.

In plaats van x op te lossen, lost men in plaats daarvan q op, de modale coördinaten of modale participatiefactoren genoemd.

Het is misschien duidelijker om te begrijpen of is geschreven als:

In deze vorm geschreven kunnen we zien dat de vibratie bij elk van de vrijheidsgraden slechts een lineaire som is van de modusvormen. Bovendien wordt de mate waarin elke modus "deelneemt" aan de laatste trilling bepaald door q, de modale participatiefactor.

Zie ook

Notes

  1. 1.0 1.1 Silva Maia, Theoretische en experimentele modale analyse (Taunton, VK: Research Studies Press, ISBN 0471970670).

Referenties

  • Hartog, J.P. Den. Mechanische trillingen. New York, NY: Dover Publications, 1985. ISBN 0486647854
  • Inman, Daniel J. Technische trillingen. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994. ISBN 0139517731
  • Maia, Silva. Theoretische en experimentele modale analyse. Taunton, VK: Research Studies Press. ISBN 0471970670
  • Rao, Singiresu. Mechanische trillingen. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990. ISBN 0201501562
  • Thompson, W.T. Theorie van trillingen. Londen, VK: Chapman & Hall, 1996. ISBN 0412783908

Externe links

Alle links opgehaald op 20 januari 2016.

  • Hyperfysica educatieve website, Oscillatie / trillingsconcepten.
  • Normale trillingsmodi van een cirkelvormig membraan.

Bekijk de video: Vibratie Bij Mijn - Milkshakevlog #44 - FUN (Juni- 2021).

Pin
Send
Share
Send